Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
ак = Я • • -fxkdF(x j,.. . ,хь. . . ,x„) = /xdFA(x) = M|k,
где Fk(x) - функция распределения величины *).
*) Мы не даем формального определения «-мерного интеграла Стилтьеса, во-первых, потому что фактически будем рассматривать только дискретные и непрерывные случайные величины и, во-вторых, потому что, по существу, для теории вероятностей нужна не общая теория интегралов Стилтьеса, а теория абстрактного интеграла Лебега (см. об этом подробнее в гл. 1 монографии Гнеденко и Колмогорова "Предельные распределения для сумм независимых случайных величин”, 1949 г.).
164
Гл. 5. Числовые характеристики
Пример 5. Плотность распределения двумерной случайной величины (?i,?2) задана формулой (двумерное нормальное распределение)
р(х 1,*2):
1
2mjt а2\/ 1 — г2
exp
I 2(1 -
2(1 -г')
(*i -Д)2 о]
2r(xi -a)(x2 - b) + (x2 - ?)2 1
a i a2
наити ее математическое ожидание.
По определению
«1 = ffx1p(x1,x2)dx1dx2 =fx1p1(x1)dx1
И
«2 = ffx2p(x1,x2)dxldx2 = fx2p2(x2)dx2. В примере 2 § 22 мы видели, что
(хх - а)2'
exp
2a?
Рг(^2)= ---------- exp
о2у/2тт
(Хг ~ Ь)2 )
J
2ст2
поэтому согласно результатам примера 1 настоящего параграфа находим, что
и ^ @, d2 — b.
Нам удалось выяснить вероятностный смысл параметров а и Ъ также и для двумерного нормального распределения.
§ 24. Дисперсия
Дисперсией случайной величины ? называется математическое ожидание квадрата уклонения ? от М?. Мы условимся дисперсию обозначать символом D?. Таким образом, по определению
DJ = M({-M{)2=/xdF4(*), (1)
О
где через F^(x) обозначена функция распределения случайной величины П = (? - М?)2. Найдем связь между функцией Fn(x) и функцией распределения F% (х) величины ?. Имеем:
Fv (х) = 0 при х < О,
§ 24. Дисперсия 16:>
а при X > О
f4(x) = P{rj< х}=Р{(?-М?)2 < х) =
= P{-Vx < ?-М?< V* } = Р{М?-\/х < %< М? + \/7} =
= FS(M? + yfx ) - F(( Щ -у/х + 0).
Формула (1) переписывается так:
D? = fdx [Ft(M? +у/х)- F?(M? - yfx + 0)] =
О
= fxdF^iЩ +\fx)~ fxdFK(Щ -yfx + 0).
0 0
В первом интеграле произведем замену z = М? + у/х, а во втором — замену z =М% — у/х~, в результате
fxdF^(М? + у/х ) = / (z - М$)2dFK(z),
О М?
М?
fxdF^m-y/x +0)= / (z ~mfdF%{z).
О —0°
Таким образом,
Dt = f{z-mfdFi{z). (2)
Так как
(z - М?)2 = z2 — 2zM| + (М?)2 и М? = fzdF$(z),
то формула (2) может быть записана иначе
D? = fz2dFi(z) - (fzdF^z))2 = т2 - (М?)2. (3)
Так как дисперсия является неотрицательной величиной, то из последнего соотношения мы выводим, что
fz2dFi(z)>(fzdFi(z))2.
Это неравенство представляет собой частный случай известного неравенства Буняковского — Коши.
Подобно математическому ожиданию дисперсия существует не для всех случайных величин. Так, рассмотренный нами ранее (пример 5 § 21) закон Коши не имеет конечной дисперсии.
Рассмотрим примеры вычисления дисперсии.
Пример 1. Найти дисперсию случайной величины ?, равномерно распределенной в интервале (а, Ь).
166 Гл. 5. Числовые характеристики'
В нашем примере
ь х2 Ь3 - a3 b2+ab+a2
fx2dFi(x) = / ------ dx = —------- = ------- ------ •
о b — а 3(6 — д) 3
В предыдущем параграфе было найдено а + b
М? =
I
Таким образом,
„2 1 „l 1
(6 - а)2 12
Мы видим, что дисперсия зависит только от длины интервала (а, Ь) и является возрастающей функцией длины. Чем больше интервал значений, принимаемых случайной величиной, т.е. чем больше рассеяны ее значения, тем больше дисперсия. Дисперсия, таким образом, играет роль меры рассеяния (разбросанности) значений случайной величины около математического ожидания.
Пример 2. Найти дисперсию случайной величины ?, распределенной по нормальному закону
1 ( С* - af 1
р(х)= --------- ехр-------------—— •
ст \/Ъп \ 2а2 J
Мы знаем, что М? = а, поэтому
1 (х-а)2
