Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гнеденко Б.В. -> "Курс теории вероятностей " -> 56

Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей — М.: Наука, 1988. — 445 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriiveroyatnostey1988.pdf
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 176 >> Следующая


то этот предел называется интегралом Стилтьеса от функции / (х) с интегрирующей функцией F(jc)h обозначается символом

ь

J= Jf(x)dF(x). (2)

а

Несобственный интеграл Стилтьеса, когда промежуток интегрирования бесконечен, определяется обычным путем: рассматривается интеграл по

произвольному конечному интервалу (а, Ь); величины а и b произвольным образом заставляют стремиться к —оо и +«>: если при этом существует предел

ь

lim f f(x)dF(x),
§ 22. Интеграл Стилтьеса

149

то этот предел называется интегралом Стилтьеса от функции /(jc) по функции F(х) в промежутке (-«,«) и обозначается

ff(x)dF(x).

Можно доказать, что если функция f(x) непрерывна и ограничена, то предел суммы (1) существует, как в случае конечных, так и в случае бесконечных пределов интегрирования.

В некоторых случаях интеграл Стилтьеса существует и для неограниченных функций f(x). Для теории вероятностей рассмотрение таких интегралов представляет значительный интерес (математическое ожидание, дисперсия, моменты и пр.).

Заметим, что всюду в дальнейшем мы считаем, что интеграл от непрерывной функции f{x) существует тогда и только тогда, когда существует интеграл от \ fix) \ с той же интегрирующей функцией F (jc) .

Для целей теории вероятностей важно распространить определение интеграла Стилтьеса на тот случай, когда функция /(jc) может иметь конечное или счетное множество точек разрыва. Можно доказать (см.В.И.Гли-венко, Интеграл Стилтьеса, стр. 116), что всякая ограниченная функция, имеющая конечное или счетное множество точек разрыва, в частности, всякая функция ограниченной вариации, интегрируема при любой интегрирующей функции ограниченной вариации. При этом требуется несколько видоизменить само определение интеграла Стилтьеса, именно, при образовании предела (1) надо рассматривать только такие последовательности подразделений интервала интегрирования на части, что каждая точка разрыва /(х) входит в число точек деления всех подразделений, за исключением, быть может, конечного числа их.

Заметим, что при установлении пределов интегрирования важно указывать, включается в промежуток интегрирования или нет тот или иной его конец. Действительно, из определения интеграла Стилтьеса мы получаем следующее равенство (символ а -0 означает, что а включено в промежуток интегрирования, а символ а + 0 — что а исключено из него):

Ь п

f f{x)dF{x)= lim 2 /(3ef)[F(*,)-F(x/_1)] =

a - 0 n -*¦ 00 / - I

n

= lim 2 /(?,)[F(jr()-F(x,„1)]+ Urn /(*, )[F(Xj)-

n 2 Xx -* x„ = a

b

-^(*o)]= f f(x)dF{x) + fia)[F{a + 0)-Fia)].

a + 0
150

Гл. 4 Случайные величины

Таким образом, если/(а) Ф 0 и функция F (х) имеет скачок при х = а, то

ь ь

/ / (x)dF(x) — f f(x)dF(x) = f(a)[F(a + 0)-F(a-0)].

а — 0 а + О

Это обстоятельство указывает на то, что интеграл Стилтьеса, распространенный на промежуток, сводящийся к одной точке, может давать отличный от нуля результат. Мы условимся в дальнейшем, если не будет сделано особой оговорки, правый конец промежутка исключать, а левый включать в интервал интегрирования. Это условие позволяет написать следующее равенство:

ь

/ dF(x) = F(b) - F(a).

а

В самом деле, по определению,

Ь п

/ dF(x) = Urn S =

a n -* °= i = 1

= lim [F(x„)-F(*o)] = F{b) - F(a)

n -* °°

(напомним, что F(x), по определению, непрерывна слева и для нее, следовательно, F(b) = lim F(b - е)).

О

В частности, если F(x) есть функция распределения случайной величины %, то

ь

f dF(x) = F(b) - F(a) = ?{а < | < b},

а

b

f dF(x) = F(b) = Р{? < b}.

__ оо

Если F(x) имеет производную и является интегралом от нее, то из того, что по формуле конечных приращений
§ 22. Интеграл Стилтьеса 151

где x,-_i < Х[ < Xj, следует равенство

ь п ^

f f(x)dF(x)= lim 2 /(^)[F(jr,-)-F(xf_i)] =

a n °° ' = 1

n b

= lim 2 /(*,-) ?(*/)(*/ - xf_!> = / f(x)p(x)dx.

л-** i = l a

Мы видим, что в этом случае интеграл Стилтьеса сводится к обыкновенному интегралу.

Если F (х) имеет скачок в точке х = с, то, выбрав подразделения так, что при некоторых значениях индекса хк < с < , имеем:

ь к

f f(x)dF(x)= lim 2 +

a n - ~ i = 1

П

+ /(c)[F(x*+i)_F(x;t)] + И"1 2 /(*7)[^<X) - ^(*/-i)] =
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed