Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
• • • ,Zn)>W2 = /H?i > • • • Лп)’ ¦ ¦ ¦ ’Vk fk(%l- ¦ • • . ?„)•
Общее решение этой задачи весьма просто, но требует расширения понятия интеграла. Чтобы не отвлекаться в сторону чисто аналитических вопросов, мы ограничимся рассмотрением важнейших частных случаев: дискретных и непрерывных случайных величин. В следующем параграфе будут изложены определение и основные свойства интеграла Стилтьеса; там мы дадим общую запись важнейших результатов настоящего параграфа.
Рассмотрим сначала случай, когда и-мерный вектор (? i,.. ., ?„) имеет плотность распределения вероятностей р(хь хг,.. . ,хп). Из предыдущего видно, что искомая функция распределения определяется равенством
ФОъ.У2, • • • ,Ук) = J ¦ ¦ ¦ fp(xi,x2>. . . xn)dxidx2 . .. dxn,
D
причем область интегрирования D определяется неравенствами
fi(x 1,х2....Х„)<У1 (/=1,2,...,*).
136 Гл. 4. Случайные величины
В случае дискретных случайных величин решение, очевидно, дается с помощью и-мерной суммы, также распространенной на область!).
Мы применим теперь только что сделанное нами общее замечание относительно решения поставленной нами общей задачи к нескольким важным частным случаям.
Функция распределения суммы. Пусть требуется найти функцию распределения суммы
V = ?i + Ь + • • • + ?п,
если p{xi,x2,... ,х„) — плотность распределения вероятностей вектора (?ь ?г, - • •, ?п)- Искомая функция равна вероятности попадания точки (?i. ?2, • • • , ?п) в полупространство ?i + ?2 + . .. + ?„ < х и, следовательно,
Ф(х) =/... / р(хи х2,.. .,xn)dxx dx2 ... dx„.
Zxk<x
Рассмотрим подробнее случай п = 2. Предыдущая формула принимает в этом случае такой вид:
х — х2
Ф(*)= // p(x1,x2)dx1dx2=f f p(xux2)dxldx2. (1)
X j + X 2 < X —«>
Если величины ?i и ?2 независимы, то р(х1,х2) = Р\ (хО р2 (х2)и равенство (1) может быть записано в таком виде:
X X 2 X
<&(x) = fdx1 / pl(xx)p2(x2)dx2 = idxx j pl{xl)p2<<z-xl)dz =
= / dz [Sp\(Xi)p2{z - x^dxj . (2)
В общем случае формула (1) дает:
Ф(х) = / dxi Jp(z,xt -z)dz. (3)
_00
Последние равенства доказывают, что если многомерное распределение слагаемых имеет плотность распределения вероятностей, то их сумма также имеет плотность распределения. Эта плотность в случае независимых слагаемых может быть записана в виде
P(x) = fp1(x-z)p2(z)dz. (4)
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Пусть ? 1 и независимы и равномерно распределены в интервале (а, Ь). Найти плотность распределения суммы т? = ?1 + ?2.
§21. Функции от случайных величин 137
Плотности распределения вероятностей ?i и ?2 равны
| 0, ^ если х<,а или х>Ь,
Pi(.x)=p2(x) = I ----если а< х <*Ь.
\ b - а
По формуле (4) находим, что
ь 1 ь
Р„0) = 1Р 100 Р2 (х -z)dz= ----fp2(х - z) dz.
а ь-а а
Из того, что при х <2 а
х - z <2а - z < а,
а при х > 2Ь
x-z>2b-z>b, заключаем, что при х < 2а и х > 2Ь Рг,(х)=0.
Пусть теперь 2а<х <2Ь. Подинтегральная функция отлична от нуля только при тех значениях z, которые удовлетворяют неравенствам
а < х — z < b или, что то же самое, неравенствам
х - b < z <х - а.
Так как х > 2а, то х - а > а. Очевидно, что х - а<Ь при х < а + Ъ. Следовательно, если 2а < х < а + Ь, то
х-а dz jc - 2 а = f 71-----= 71------^ ’
а ф - af (Ь - af
Точно так же при а + b < jc < 2Ь
ь dz 2Ь — х
Рп(х)= / 71--------^ =71-----Тг-
х„ь ф - af (b-af
138
Гл. 4. Случайные величины
Собрав вместе полученные результаты, находим, что при х < 2а и х> 2Ь,
при 2а < х < а + Ъ,
Р ч(*):
2а
(Ь - а?
2Ь - х
-----------г~ при а + Ъ < х < 2Ъ.
(Р - а?
(5)
Функция рп(х) носит название закона распределения Симпсона.
Вычисления в рассмотренном примере значительно упрощаются, если воспользоваться геометрическими соображениями. Изобразим, как обычно, %х и %2 как прямоугольные координаты на плоскости. Тогда вероятность неравенства +|2 <х при 2а<х <а + Ь равна вероятности попадания в дважды заштрихованный прямоугольный треугольник (рис. 16). Эта вероятность, как легко подсчитать, равна (х - 2а)2
Fr)(X) = 2(a-bf '
При а + b < х < 2Ь вероятность неравенства < х равна вероятности
попадания во всю заштрихованную фигуру. Эта вероятность равна
(2Ъ - х)2
FJx) = 1- --------.
п 2 (Ь-а?
Дифференцирование по х приводит нас к формуле (5).
В связи с рассмотренным примером интересно заметить следующее.
