Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
F(x„) - F(xJ
F(xn) - F(x, )
29. Случайные величины ? и tj независимы и одинаково распределены с плотностью распределения
С
Рц(х) = Pr? (v)
1 + х4
Найти постоянную С и доказать, что величина ? /т) распределена по закону Коши.
Упражнения
157
30. Случайные величины ? и п независимы, их плотности распределения соответственно равны
1
Р?(х) = -------------- (I х | < 1 );
7Г -J \ -Х7
I 0 при х < О
Рц 00 =
[хе-* при х > 0.
Доказать, что величина ? tj нормально распределена.
31. Пусть f и ? независимы и имеют плотности распределения
( О при х < О,
Р?(х) = Pf(x) =
1 при х > 0.
Доказать, что отношение tj =—-— распределено равномерно на отрезке (0,1).
? + п
32. Случайные величины ? и tj независимы и равномерно распределены на отрезке ( —1, 1). Вычислить вероятность того, что корни уравнения х2 + ?х + tj = 0 вещественны.
(Задачи 29-32) сообщены мне М.И. Ядренко.)
ГЛАВА 5
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
В предыдущей главе мы видели, что наиболее полная характеристика случайной величины дается ее функцией распределения. Действительно, функция распределения одновременно указывает на то, какие значения может принимать случайная величина и с какими вероятностями. Однако в ряде случаев о случайной величине требуется знать гораздо меньше, требуется получить о ней лишь некоторое суммарное представление. Для теории вероятностей и ее приложений большую роль играют некоторые постоянные числа, получаемые по определенным правилам из функций распределения случайных величин. Среди этих постоянных, служащих для получения общей количественной характеристики случайных величин, особенно важны математическое ожидание, дисперсия и моменты различных порядков.
§ 23. Математическое ожидание
Начнем изложение с рассмотрения следующего схематического примера: предположим, что при стрельбе из некоторого орудия для поражения некоторой цели требуется один снаряд с вероятностью рх, два снаряда — с вероятностью три снаряда — с вероятностью р3 и т.д. Кроме того, известно, что п снарядов заведомо достаточно для поражения этой цели. Таким образом, известно, что
Pi + Рг + • • - + Рп = I•
Спрашивается, сколько в среднем потребуется снарядов для поражения указанной цели.
Для ответа на поставленный вопрос будем рассуждать так. Предположим, что производится очень большое число стрельб в указанных выше условиях. Тогда на основании теоремы Бернулли мы можем утверждать, что относительное число стрельб, в которых для поражения цели потребовался только один снаряд, приблизительно равно рх. Точно так же два снаряда потребовалось приблизительно в 100р2 % стрельб и т.д. Таким обра-
§ 23. Математическое ожидание
159
зом, ”в среднем” на поражение одной цели потребуется приблизительно
1 - Pi + 2-рг + .. . + п ¦ рп снарядов.
Аналогичные задачи по подсчету среднего значения случайной величины возникают в самых разнообразных задачах. Вот почему в теории вероятностей вводят в рассмотрение особое постоянное, носящее название математического ожидания. Мы сначала дадим определение для дискретных случайных величин, отправляясь от только что рассмотренного примера.
Пусть
*1, *2.-----х„, ...
обозначают возможные значения дискретной случайной величины |, а
Pi, Рг, ¦ ¦ ¦ , Рп ,
— соответствующие им вероятности.
Если ряд 2 хпрп сходится абсолютно, то его сумма называется
математическим ожиданием случайной величины % и обозначается М? .
Для непрерывных случайных величин естественным будет следующее определение: если случайная величина | непрерывна и р(х) — ее плотность распределения, то математическим ожиданием величины | называется интеграл
в тех случаях, когда существует интеграл / |х \p(x)dx.
Для произвольной случайной величины | с функцией распределения F (х) математическим ожиданием называется интеграл
п = 1
М | = / хр {x)dx
(1)
М % = / xdF{x).
(2)
Пользуясь определением интеграла Стилтьеса, мы можем дать простое геометрическое истолкование понятию математического ожидания: математическое ожидание равно разности площадей, заключенных между осью
160
Гл. 5. Числовые характеристики
ординат, прямой у = 1 и кривой у = F(x) в интервале (0, +оо) и между осью абсцисс, кривой у = F(х) и осью ординат в промежутке (—оо, 0). На рис. 18 соответствующие площади заштрихованы и указано с каким знаком следует взять в сумме каждую из площадей. Заметим кстати, что геометрическая иллюстрация позволяет математическое ожидание записать в таком виде:
Сделанное замечание позволяет во многих случаях находить математическое ожидание почти без вычислений. Так, для случайной величины,
