Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
а) плотность распределения абсциссы к-ft слева точки;
б) совместную плотность распределения абсцисс fc-й и т-й точек слева (к < т).
11. Над случайной величиной ? с непрерывной функцией распределения произведено п независимых испытаний, в результате которых были наблюдены следующие значения величины ?: х(, ху, ..., хп. Найти функции распределения случайных величин:
а) т)„ = шах (х,, х2..........хи);
б) = min (х,, х,..........х„);
в) к-го по величине результата наблюдения:
г) совместного распределения к-го и т-го по величине результатов наблюдения.
12. Функция распределения случайного вектора (?,, ..., ?„) равна F(xlt х,, ...
хп). В результате испытания компоненты вектора получили значения
(zt, Zj...г„). Найти функцию распределения случайной величины:
а) пп ~ max (г,, z2, . . . , z„);
б) Г„ = min (zj, z...........z„).
13. Случайная величина ? имеет непрерывную функцию распределения F(x). Как распределена случайная величина r\ = F (?) ?
14. Случайные величины t и ч независимы; их плотности распределения определяются равенствами
= Рт)(*) = 0 пРи х < О,
р$(х) = с,хае^х, рп(х) = сгхуе~®х при х > 0.
Найти:
а) постоянные с, и с3 ;
б) плотность распределения суммы ( + т).
15. Найти функцию распределения суммы независимых случайных величин ? и ц, первая из которых равномерно распределена в сегменв- (—Л, Л), а вторая имеет функцию распределения F (х).
16. Плотность распределения случайного вектора (?, т), f) равна
р(х. V. z) =
при х > 0, у > 0, z > 0,
(1 +х + у + z)4
0 в остальных случаях.
Найти распределение величины ? + »i+ J.
Упражнения
155
17. Найти распределение суммы независимых случайных величин ?, и ?,, если и\ распределения заданы условиями:
Найти плотность распределения величины f = ?/т].
19. Найти функцию распределения произведения независимых сомножителей ? и г] по и\ функциям распределения Fх (.х) и F2 (х),
20. Случайные величины J и г] независимы и распределены:
а) равномерное интервале (-а, а);
б) нормально с параметрами а = 0, а - 1.
Найги функцию распределения их произведения.
21. Стороны ? и г} треугольника представляют собой независимые случайные величины. По их функциям распределения Fj (х) и F^t^x) найти функцию распределения третьей стороны, если угол между сторонами ? и т] равен постоянному числу а.
22. Доказать, что если величины ? и л независимы и их плотность распределения
то величины ? + чи ? /г) также независимы.
23. Доказать, что если величины ? и г] независимы и нормально распределены с параметрами a t = <7, = 0. = а, = о, то величины
б) равномерно распределены соответственно в интервалах (-5, 1); (1, 5);
18. Плотность распределения независимых случайных величин ? и ч равна:
при х > 0 (а > 0);
0
при 0 < л- < а.
равна
при х > 0,
f = ?2 + Т7% ft = ?/п
также независимы.
156
Гл. 4. Случайные величины
24, Доказать, что если величины Е и т) независимы и распределены по закону х2 с параметрами т и п, то величины 6 = ?/rjHf=?+rj независимы.
25. Случайные величины ?,, ?2, ..., ?„ независимы и имеют одну и ту же плотность распределения
(х - а)2 1 2<>2 р(л-) =---------е
I 7Г
п т
Найти двумерную плотность распределения величин rj = 2 ?^ и f = Sffc
fc=l Аг = 1
(т < п).
26. Доказать, что любая функция распределения обладает следующими свойствами,
ОО оо
lim Л' / j dF(z) = 0, lim х / jdF(z) = О, л- • - Л. v МО д.
.V лг
lim лг / — dF(z) = 0, lim х / — dF(z) = 0.
X — 00 --- оо Х->-0_оо
27. Над случайной величиной ?. имеющей непрерывную функцию распределения F (х), проведены две серии независимых испытаний, в результате которых ? приняла значения, расположенные в порядке возрастания в каждой серии:
х, < х2 < ... < хм. у, < уг < ... < yN.
Чему равна вероятность неравенств
Ум < хш+1 < Ум+1 ,
где т и м заданные числа (0 < т < М, 0 < д < N)?
28. Случайная величина ? имеет непрерывную функцию распределения F (х).
В результате п независимых наблюдений над ? получены следующие значения
х, < хг < ... < хп, упорядоченные по величине. Найти плотность распределения
величины