Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Общие вопросы геометрии привели Н.И. Лобачевского к необходимости решения следующей задачи: имеется группа из п взаимно независимых случайных величин \ х, Ь > ¦ • ¦ > !л> найти распределение вероятностей их
среднего арифметического.
Эта задача была им решена только для случая, когда все ошибки равномерно распределены в интервале (—1, 1). При этом оказалось, что вероятность ошибке среднего арифметического заключаться в пределах от — х до х равна
Рп(х)= -J—r X
X ?(-1)
2п-1
[п-
пх - 2г]1
(г!)2(л-г)!
§ 21. Функции от случайных величин 139
где суммирование распространяется на все целые г от г - 0 до
'-Fr1
Пример 2. Двумерная случайная величина распределена по
нормальному закону
Р(х,у)=---------l—j=f X
2ttoi о2 -V1 - г
1 /(¦x-af (.х-а){у-Ъ) (у - bf
-------:- I-------- _2 Г--------------+---------
2(1 — г2) \ а1 0\02 а\
Найти функцию распределения суммы т] = ?i + %2. Согласно формуле (3)
2iroi ст2\Л - г I 2(1 — г ) \ а?
(г - а)(х - z - Ь) (jr-z-?)2,\!
-2 Г------------------ +------;--------]\dz.
СТ1 0*2 О2 / J
Обозначим для краткости* ~ а - Ъ через ииг-а через и; тогда 1
рТ)(*) = „-------/, ... I X
27TCTi а2 vl — г
[ 1 /и1 u(v - и) (и - и)2\1
X /ехр------------1-2г—------------------ + - —) <*и.
I 2(1 -г2) \а2 а! ст2 ст2 /I
Так как
w2 u(v - и) (v - uf a2+2raia2+a2 ai + ra2 v2
_ _ 2r------------+----— = и------------—------------2uv --------—+ —
CT i O2 CT1CT2 02
%/ст2+2гст1а2 + a22 и ...
M —-------------------------> , _ .- л +
ai + ra2 l2
+ 2rCTi a2 + a2 J
+
ai o2 a2 vcti + ¦
12 / (cti + ra2f \ Г y/a\ + 2rax a2 + o\
4(, +
a2 \ ay + 2rai a2 + a2) L
a2 \ a 1 +2raia2 + a27 L о 1 o2
v ox+ro2 I2 u2(l — r2)
a2 Vtfi + 2roi a2 + o2 J a\ + 2rai a2 + 0$
140
Гл. 4. Случайные величины
то .введя обозначение
1
\/а\ + 2rox о2 + о\ v
о 1 + го2
аха2
ст2 Vo? + 2rax o-i+al ’
мы приведем выражение для pv(x) к виду
2 7Г Vaj + 2 гохо2 + о\
Так как
v~x - а - b vi $е 2 dt = \f2ir,
то
1
(.х-а-Ь)2
g 2(оJ + 2 го, сг2 + Oj ) .
В частности, если случайные величины ?i и §2 независимы, то г = 0 и формула для принимает вид
^ U-a-b)3
Рг,(х) = -7~т-2- ~е + .
V2^(cti + ст2)
Нами получен, таким образом, следующий результат: сумма нормально распределенных случайных величин распределена по нормальному закону.
Интересно заметить, что когда слагаемые независимы, имеет место и обратное предложение (теорема Г. Крамера): если сумма двух независимых случайных величин распределена по нормальному закону, то каждое слагаемое также распределено по нормальному закону. Мы не останавливаемся на доказательстве этого предложения, так как оно требует более сложного математического аппарата.
ПримерЗ. Распределение х2- Пусть ? i, > • • ¦ , — независи-
мые случайные величины, распределенные по одному и тому же нормальному закону с параметрами а ист.
Функция распределения величины
носит название х2-распределения.
§21. Функции от случайных величин
141
Это распределение играет важную роль в различных вопросах статистики.
Мы вычислим сейчас функцию распределения величины f = x/V”- Она окажется независимой от а и а
Очевидно, что для отрицательных значений аргумента функция распределения Ф(.у) величины f равна 0; для положительных значений у функция Ф(>>) равна вероятности попадания точки (?i, . . . , ?„) внутрь шара
Перейдем для вычисления этого интеграла к сферическим координам, т.е. сделаем замену
= р COS в ! COS02 . .. cos б„_ 1 , х2 = р cos в! cos в2 ¦ ¦ . sin вп _ i,
хп = р sin в i.
В результате этой замены
П
? (хк -а)2 = у2 ¦ п - о2.
к =
Таким образом,
2 dx 1 dx2 . ¦ . dxn.
Z>(0, ...0„_i)X
Xdpd6n^1 . . .t/fli =С„ J е Pn'ldp,
y\fn _рг12
О
где постоянная
i я/2 тт/2
зависит только от п.
Эту постоянную легко вычислить, пользуясь равенством
142
Гл. 4. Случайные величины
Отсюда находим, что Ф(у) =
v(y)-
(6)
2«/2 - 1 Г(«/2) о Плотность распределения случайной величины f при у > О равна
\/2Й [y\jnY'~l -пу212
