Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, при любом наборе чисел хх, х2, . . . , хп определена вероятность F (xi,x2,...,xn) = P{?i < xlt ?2 х2, . . . ,?„< хП}. Эта функ-
ция п аргументов называется n-мерной функцией распределения случайного вектора ($ 1, ,. .., ?„).
В дальнейшем мы прибегнем к геометрической иллюстрации и станем рассматривать величины ?j, ?2, • • • , как координаты точек и-мерного евклидова пространства. Очевидно, что положение точки (?i, ?2, . . . , §„) зависит от случая и что функция F (хj, . . . , х„) при такой интерпретации дает вероятность попадания точки (?1( . . . , ?„) в «-мерный параллелепипед < ху, %2 < хг хп с ребрами, параллельными осям
координат.
С помощью функции распределения легко вычислить вероятность того, что точка (? j, ?2,. . . , ?„) окажется внутри параллелепипеда
д,- < !,• < bt (/' = 1, 2,..., л),
12В
Гл. 4. Случайные величины
где а/ и bj — произвольные постоянные. Нетрудно подсчитать, что Р{а, <?,<*,, аг < Ь < Ьг,..., ап < < Ьи> =
Л
i'=i I < /
+ (-l)"F(ab а2,----д„),
0)
где через ?>,•/...? обозначено значение функции F(cit с2, ... , сп) при Ci - dj, Cj = а,, . . . , с к = ak и при остальных cs, равных bs. Мы предоставляем доказательство этой формулы читателю. Заметим, в частности, что
F(х .......хк_ j, + °°, xfc+I, . . . , х„) дает нам вероятность того, что будет
выполнена следующая система неравенств:
?l < *1 > ?2 < Х2, . . . ,%к- 1 lfc+1 < хк+ 1 > • • • > < *«•
Так как по расширенной аксиоме сложения вероятностей
PUi ^ • • • i^t- 1 ^ %к — 1> ^к + 1 ^ + !>•••>?« ^ ¦*« }
то F(хj, . . . , хк_1, *к + 1, . . ¦ , *„) является функцией распределения (п — 1)-мерной случайной величины (?,, . . . , St-i. l*+i> • • • > ?«)• Продолжив этот процесс далее, мы можем определить fc-мерные функции распределения любой группы из к величин , |,-2,..., |f по формуле
= F(cj, с2,... , с„),
где , если s = (1 </¦ и - + 00 в иных случаях. В частности,
функция распределения случайной величины равна
Fk(x) = F(cu с2,..., с„),
где все с,- (/ Ф к) равны + °°, а ск = х.
Подобно тому как поведение одномерной случайной величины можно характеризовать не только посредством функции распределения, но и другими способами, многомерные случайные величины могут быть определены, скажем, посредством неотрицательной вполне аддитивной функции множества <?>{?'}, определенной для любых борелевских множеств «-мерного пространства. Эту функцию мы определим как вероятность попадания точки (?,, . . . , ?„) на множество iT. Этот способ вероятностной характеристики и-мерной случайной величины следует признать наиболее естественным и с точки зрения теоретической наиболее удачным.
оо
Z P{?i<x1,...,?k_i<xk_1, s < ** < s + 1, |*+1<
S - —00
s — —
^ Хк + 1 > ¦ ¦ * 9 %п ^ I» 00 э *^Аг+ !»•¦*» Хп) з
j 20. Многомерные функции распределения
129
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Случайный вектор (li, . .., |„) называется равномерно распределенным в параллелепипеде а{ < й,- (1 </ <л), если вероятность попадания точки (li, • • • . In) в любую внутреннюю область указанного параллелепипеда пропорциональна ее объему и вероятность попадания внутрь параллелепипеда является достоверным событием.
Функция распределения искомой величины имеет вид
F(xu...,x„)
0, если х( < я,- хотя бы при одном I,
« Cj - а,- где с, = xh если а,- < х,• <
П .
/ = 1 bi - д,- и с( = 6,-, если х,- > bi.
Пример 2. Двумерная случайная величина (|j, |2) распределена нормально, если для нее функция распределения равна
F(xi,x2)=C / / e~Q{x'y)dxdy,
где ??(*> j') — положительно определенная квадратичная форма.
Известно, что положительно определенная квадратичная форма от х и у может быть записана в виде
, (х~а)2 (х-а)(у-Ь)
ъ, где А и В — положительные числа, а г, а и b — вещественные числа, причем г подчиняется условию — 1 < г < +1.
Легко видеть, что при г2 Ф 1 каждая из случайных величин и подчинена одномерному нормальному закону. Действительно,
^i(*i) = P(Ij < *i) = ^(*j, + °°) = С f fe Q(x-y'>dxdy =
— oo
jc (л-a)2 2 1 Г У-b r(x-a) ]a
= c f e 2A2 fe 2 I B A ¦* dy.
—oo
Так как
1 \ y~b - rJLz±. V
2 [ В A J
Se 2 I B A J dy =
V K.R Гнрпрнко
130
Гл. 4. Случайные величины
то
*. - (Х-р....(1 -г2)
F,(*,) = ВСу/Пт f е 2А dx. (2)
Постоянное С может быть выражено через А, Виг. Эту зависимость можно найти из условия Fi(+°°) = 1. Имеем:
