Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
По аксиоме непрерывности должно быть
lim Р(Ап) = lim {F(x) - F(xn)} =
П —> °° П “* 00
= F(x)~ lim F(x„) = F(x) - F(x - 0) = 0,
n -» °o
что и требовалось доказать.
Точно так же можно доказать, что
Р{| < х) = F(x + 0) .
Мы видим, таким образом, что каждая функция распределения является неубывающей, непрерывной слева и удовлетворяющей условиям F(-«) = 0 и F(+ °°) = 1 функцией. Верно и обратное: каждая функция, удовлетворяющая перечисленным условиям, может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины.
Заметим, что в то время как каждая случайная величина однозначно определяет свою функцию распределения, существует сколько угодно различных случайных величин, имеющих одну и ту же функцию распределения. Так, если % принимает два значения —1 и +1, каждое с вероятностью 1/2 и г) = то ясно, что всегда % отлична от rj. Тем не менее обе зти
§ 19. Непрерывные и дискретные распределения
123
случайные величины имеют одну и ту же функцию распределения (0 при х < —1,
F(x) = I 1/2 при -1 < х < 1,
11 при X > 1.
§ 19. Непрерывные и дискретные распределения
Иногда поведение случайной величины характеризуют не заданием
ее функции распределения, а каким-либо иным способом. Всякая такая характеристика носит название закона распределения случайной величины, если только по определенным правилам можно получить из нее функцию распределения. Так, законом распределения будет функция интервала Р{хх, х2), представляющая собой вероятность неравенства хх <? < х2. Действительно, зная Р{хх, х2), мы можем найти функцию распределения по формуле
F(x) = Р{ — 00, *}.
Мы уже знаем, что и по F (х) можно найти для любых хх и х2 функцию Р{хи х2) : Р{хх, х2] = F{x2) -F(xx).
Часто в качестве закона распределения полезно брать функцию множества Р{Е), определенную для всех борелевских множеств и представляющую собой вероятность того, что случайная величина % примет значение, принадлежащее множеству Е. Вероятность Р{Е}, в силу расширенной аксиомы сложения, есть вполне аддитивная функция множества, т.е. для любого множества Е, представляющего собой сумму конечного или счетного числа непересекающихся множеств Ек:
Р{Е) = Т,Р{Ек}.
Из всевозможных случайных величин мы выделим прежде всего те, которые могут принимать только конечное или счетное множество значений. Такие величины мы будем называть дискретными. Для полной вероятностной характеристики дискретной случайной величины ?, принимающей с положительными вероятностями значения хх, х2, х3., достаточно знать вероятности pk = Р {? = хк } *) . Очевидно, что по совокупности вероятностей рк можно определить функцию распределения F (х) посредством равенства
F(x) = 1рк,
в котором суммирование распространяется на все те индексы, для которых хк < х.
Функция распределения любой дискретной величины разрывна, возрастает скачками при тех значениях х, которые являются возможными
*)Эти и только эти значения хп мы назовем возможными значениями дискретной случайной величины f.
124
Гл. 4. Случайные величины
значениями ?. Величина скачков функции F(x) в точке х, как мы выяснили ранее, равна разности F (х + 0) — F (х).
Если два возможных значения величины % разделены интервалом, в котором других возможных значений ? нет, то в этом интервале функция распределения F (х) постоянна. Если возможных значений ? конечное число, например п, то функция распределения F (х) представляет собой ступенчатую кривую с п + 1 интервалом постоянства. Если же возможных значений ? имеется счетное множество, то это последнее может быть и всюду плотным, так что интервалов постоянства у функции распределения дискретной случайной величины может и не быть. Пусть для примера возможными значениями ? будут все рациональные числа и только они. Пусть эти числа занумерованы каким-нибудь способом: гх г2, • ¦ ¦ и вероятности Р{? =г*> = рк определены посредством равенстварк = 1/2к. В нашем примере все рациональные точки являются точками разрыва функции распределения.
В качестве другого важного класса случайных величин мы выделим те из них, для которых существует неотрицательная функция р (х), удовлетворяющая при любых jc равенству
F(x) = / p(z)dz.
— оо
Случайные величины, обладающие этим свойством, называются непрерывными; функция р (jc) называется плотностью распределения вероятностей„
Отметим, что плотность распределения вероятностей обладает следующими свойствами:
1. р(x)>Q.
2. При любых .г1 и х2 удовлетворяет равенству
X 2
Р{х, < % < х2) = / p(x)dx.
xi
В частности, если р (х) непрерывна в точке jc, то с точностью до бесконечно малых высших порядков Р{х < ? < х +cfcr) = p(x)dx.
3. f p(x)dx = 1.
Величины, распределенные по нормальному или равномерному закону*), дают нам примеры непрерывных случайных величин.
