Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
1
1 -г2
cos 0 sin
2 г---------------- +-
о\ Oi02 о\
§ 20. Многомерные функции распределения
133
Интегрирование по р дает:
\2
1— е~ 20 -г2) 2rn dd
--------ТГ—2 f I2'
2tt0i02 y/\ — г о s
Интегрирование по в можно выполнить по правилам интегрирования тригонометрических функций, но в этом нет необходимости, так как оно автоматически производится с помощью вероятностных соображений. Действительно,
1 dd
Р{+ао)=1=-------------_= / — .
2tt0iO2 у/1 — г о *
Отсюда
2*dQ ,----
J —г = 2ttcti а2 vl -г
о *2 и, стало быть,
\2
Р(Х) = 1 —e~2(i -г2')
Нормальное распределение играет исключительно большую роль в различных прикладных вопросах. Распределение многих практически важных случайных величин оказьшается подчиненным нормальному закону распределения. Так, например, огромная практика артиллерийских стрельб, произведенная в различных условиях, показала, что рассеивание снарядов на плоскости при стрельбе из одного орудия на определенном прицеле подчиняется нормальному закону. В главе 8 мы увидим, что эта ’’универсальность” нормального закона объясняется тем, что всякая случайная величина, являющаяся суммой очень большого числа независимых случайных величин, каждая из которых оказывает лишь незначительное влияние на сумму, распределена почти по нормальному закону.
Важнейшее понятие теории вероятностей — независимость событий — сохраняет свое значение и для случайных величин. В соответствии с определением независимости событий мы скажем, что случайные величины ?i,?2> • • ¦ Лп независимы, если для любой группы , . . . , этих
величин имеет место равенство
<*/,, Ьг <xh,...,ltk<xik) =
= Р { < */, > Р ¦¦¦PUtik< xik ^
при произвольных xit , х^,. .. , xik и любом к(1 <к<п). В частности, для
134 Гл. 4. Случайные величины
произвольныххх, х2,.. ., х„ выполняется равенство Р { ?l < *1 , ?2 < *2 , ¦ ¦ ¦ ,$п<Х„) =
= P{?i<*i> Р(Ь<^} ...Р {?„<*„}
или в терминах функций распределения
F(x их2... • , xn)=F1(x1)F2(x2) . . . Fn(xn),
где Fk(xk) означает функцию распределения величины ?fc.
Легко видеть, что верно и обратное предложение: если функция распре деления F(xb х2,... , хп) системы случайных величин ?i, ?2 > • • • > ?п имеет вид
F(xux2.......JC„) = F1(x1)F2(x2).. . Fn(xn),
где функции Fk(xk) удовлетворяют соотношениям
^(+00)= 1 (к= 1, 2,.. . ,и),
то величины f i > , ¦ ¦ ¦ Лп независимы и функции F2(x2), . . .
. . . ,Fn (хп) являются их функциями распределения.
Проверку этого предложения мы предоставляем читателю.
Пример 5. Рассмотрим л-мерную случайную величину, компоненты которой ?i, ?2, ¦ • ¦ ,?л являются взаимно независимыми случайными величинами, распределенными по нормальным законам
, (z-ak)2
Fk{xk) =-----— /V dz.
Off 2,71 00
В рассматриваемом примере функция распределения равна
"л хк (г~акУ
F(xu х2,.. . , хп) = (2тг) 2 П akl f е 2al dz.
к ~ 1 _ оо
Если независимые случайные величины ?t, ?2. ¦ • • > ?л имеют плотности распределения рх (д-), р2 (х),... ,р„(х„), то л-мерная величина (?1, ?2, • • • ...,?„) имеет плотность распределения, равную
р(хи х2,.. . , хп) = рх(хх)р2(х2).. .р„(х„).
П р и м е р 6. Если величины %х, %2 ,...,?„ независимы и имеют плотности распределения
1 (х-ак)г
§ 21. Функции от случайных величин 135
то и-мерная плотность распределения величины (?i, Ь > • • ¦ Лп) равна
п 1 п (Хп-ак)2
, , (2тг) 2 fcfj a?
р(х 1,х2,.. . ,х„)= -------------е 1 * (6)
01 ст2 . . . ап
При п = 2 эта формула принимает вид
I (xj—flj) (л:2 — а2)
p(xi,*2)=----------е 2ст? 2а\ .
2яст1 с2
Сравнение этой функции с плотностью двумерного нормального закона (пример 4) показывает, что для независимых случайных величин и параметр г равен 0.
При п - 3 формула (6) может быть истолкована как плотность распределения вероятностей компонент , ?з скорости молекулы по осям
координат (распределение Максвелла), если только предположить, что
а] = о\ = о\ = —, пт
где т — масса молекулы, а Л — константа.
§ 21. Функции от случайных величин
Сведения, полученные нами о функциях распределения, позволяют нам приступить к решению следующей задачи: по функции распределения F(хi,*2,... ,хп) совокупности случайных величин ?2,. . . ,%п определить функцию распределения Ф(_Уь у2, ¦ ¦ ¦ ,Ук) величин tji = /i (?i, ?2 > • • ¦
