Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Определим функцию ц = f (со) от элементарного события со так: она равна числу появлений события А в элементарном событии со. Согласно результатам главы 2
Р {ц = к} =Рп(к) = Cknpkqn~k.
Измеримость функции ц = /(со) в поле вероятностей непосредственно очевидна. Отсюда, согласно определению, заключаем, что ц есть случайная величина.
Пример 5. Произведены три наблюдения за положением молекулы, двигающейся по прямой линии. Множество элементарных событий состоит из точек трехмерного евклидова пространства R3. Множество случайных событий F состоит из всевозможных борелевских множеств пространства R з.
120
Гл. 4. Случайные величины
Для каждого случайного события А определим вероятность Р {А } посредством равенства
Р{А} = ------7=Т f ^ е~ 1(Х| 0) +(*2 ~0) +(Х>~а) 1 dxxdx2dx3.
(а ч/2тг)3 а
Рассмотрим теперь функцию ? -/(ш) элементарного события, определенную посредством равенства
1
? = —(*1 +х2 +х3).
3 '
Эта функция измерима относительно введенной нами вероятности, поэтому ? является случайной величиной. Для нее функция распределения равна
1 " - (Хк " 0)2
F(x) =Р{?<*} =---------— Iff е k=l X
(a yjliг)3 х, +х2 +х,<3х
1 * _ 3(г - а)г
X dxxdx^dx3=-----------/ — / е 2°2 dz.
I 2
а V — тг
3
С только что развитой точки зрения действия над случайными величинами сводятся к известным операциям над функциями. Так, если ?j и ?2 являются случайными величинами, т.е. измеримыми относительно введенной вероятности функциями
?i = /i(w)> ?2 = /2(^)1
то любая борелевская функция от них также является случайной величиной. Для примера
Г = ?. +?2
измерима относительно введенной вероятности и потому является случайной величиной.
Позднее мы разовьем только что сделанное замечание и получим ряд важных для применений результатов. В частности, мы выведем формулы для функции распределения суммы и частного двух случайных величин по распределению слагаемых.
При помощи функции распределения случайной величины ? можно определить вероятность неравенства jc , < ? < jc2 при любых jq и jc2. В самом деле, если через А обозначить событие, состоящее в том, что ? примет значение, меньшее чем jc2, через В — событие, состоящее
§18. Основные свойства функций распределения
121
в том, что % < хи и, наконец, через С — событие хх < % < х2, то, очевидно, имеет место следующее равенство:
А = В + С.
Так как события В и С несовместимы, то
Р(А) = Р(В) + Р(С).
Но
Р(А) = F(x2), Р(В) = F(Xl), Р(С) = P{Xl <i<x2), .
поэтому
Р{х, = F(x2)-F(xt). (1)
Так как, по определению вероятность есть неотрицательное число, то из равенства (1) следует, что при любых хх и х2 (х2 > *,) имеет место неравенство
F(x2) > F(Xl),
т.е. что функция распределения любой случайной величины есть неубывающая функция.
Очевидно, далее, что функция распределения F (х) при любом х удовлетворяет неравенству
О < F(x) < 1. (2)
Мы скажем, что функция распределения F (х) имеет при х = х0 скачок, если
F(x0 + 0) - F(x0 - 0) = С0 > 0.
Функция распределения может иметь не более чем счетное множество скачков. В самом деле, скачков размера, большего 1/2, функция распределения может иметь не более одного; скачков размера от одной четвертой до половины (1/4 < С0 < 1/2) — не более трех. Вообще скачков размером от 1/2" до 1/2” — 1 может быть не более чем 2” — 1. Совершенно ясно, что мы можем пронумеровать все скачки, расположив их по величине, начиная с больших значений и повторяя равные значения столько раз, сколько скачков этой величины имеет функция F (х).
Установим еще несколько общих свойств функций распределения. Определим F(— °°) и F(+ °°) равенствами
/г(,-оо) = lim F(— п), F(+°°) = lim F(+п)
и докажем, что
F(- о°) = 0, F(+°°) = 1.
122
Гл. 4. Случайные величины
Действительно, так как неравенство | < + 00 достоверно, то Р{?< + °°}= 1.
Обозначим через Qk событие, состоящее в том, что к — 1 < ? < к. Так как событие ? < +°° эквивалентно сумме событий Qk, то на основании расширенной аксиомы сложения
Р{| <+«,}= s Р{Qk}.
к = —
Следовательно, при п
2 Р{Qk)= 2 [F(k)-F(k- 1)] = F(ti)-F(-7i) -> 1.
к = I — п к ~ I —п
Отсюда, принимая во внимание неравенства (2), заключаем, что при п F{-n) -+ 0, F(+n) -> 1.
Функция распределения непрерывна слева.
Выберем какую-нибудь возрастающую последовательность х0 < дг( < < Х2 < ¦ • < хп < ..., сходящуюся К X.
Обозначим через Ап событие {хп < % < х}. Тогда ясно, что Л,- С А-г
при / > /, и произведение всех событий Ап есть невозможное событие.
