Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Пример. Рассмотрим ближе нормальный закон распределения. Для него плотность распределения вероятностей равна
_
р(х) = С- е 201
*)Так называется закон с функцией распределения, линейно изменяющейся от
0 до 1 в некотором интервале (а, Ь) и равной нулю левее точки а и единице правее Ь.
§ 19. Непрерывные и дискретные распределения
125
Постоянное С определяется, исходя из свойства 3. Действительно,
_ (* - а)*
С/е 2°2 dx = 1.
х - а
Заменой переменных---------- = z это равенство приводится к виду
а
Cofe-z*/2dz = 1.
Интеграл, стоящий в правой части этого равенства, известен под именем интеграла Пуассона, причем
/e~z* !2dz = V 2тг.
Таким образом, находим, что
1
С = --------
а\] 2 7г
и, значит, для нормального распределения
(х-аУ
Функция р(х) достигает максимума при х = а, имеет точки перегиба при х = а ±а; ось абсцисс служит для нее асимптотой при х -> ±°°. Для иллюстрации влияния параметра ст на форму графика плотности нормального распределения мы приводим на рис. 15 графики р(х) при а = 0 и 1) а2' = 1/4, 2) а2 = 1, 3) а2 = 4. Мы видим, что чем меньше значение а, тем кривая р (х) имеет большее значение максимума и падает
р{Х)
а,в
у=1
Y\d=1
/70,2
i ---.»
-J -2 -1 0 1 2 3 Т
Рис. 15
126
Гл. 4. Случайные величины
круче. Это означает, в частности, что вероятность попасть в интервал (— а, а) больше для той случайной величины, распределенной по нормальному закону (с параметром а ~ 0), для которой величина а меньше. Мы, следовательно, можем считать а характеристикой разбросанности значений величины ?. При а Ф 0 кривые плотностей имеют ту же форму, но сдвинуты вправо (а > 0) или влево (а < 0) в зависимости от знака параметра а.
Помимо дискретных и непрерывных случайных величин существуют, разумеется, и другие случайные величины. Кроме величин, которые ведут себя в одних интервалах как непрерывные, а в других как дискретные, имеются величины, не являющиеся ни в одном интервале ни дискретными, ни непрерывными. К таким случайным величинам относятся, например, все те, функции распределения которых непрерывны, но при этом возрастают только на множестве лебеговской меры нуль. В качестве примера такой случайной величины приведем величину, имеющую функцией распределения известную кривую Кантора. Напомним построение этой кривой. Величина ? принимает только значения между нулем и единицей. Следовательно, ее функция распределения удовлетворяет равенствам
F(x) = 0 при х < 0, F(x) = 1 при х > 1.
Внутри интервала (0, 1) ? принимает значения только в первой и последней его третях, в каждой с вероятностью 1/2. Таким образом,
F(x) = 1/2 при 1/3 < jc < 2/3.
В интервалах (0, 1/3) и (2/3, 1) ? снова может принимать значения только в первой и последней трети каждого из них, в каждой с вероятностью 1/4. Этим определяются значения F(jc) еще в двух интервалах:
F(х) = 1/4 при 1/9 < jc < 2/9,
F (х) = 3/4 при 7/9 < * < 8/9.
Далее в каждом из оставшихся интервалов повторяется то же построение и этот процесс продолжается до бесконечности. В результате функция F (х) оказывается определенной на счетном множестве интервалов, являющихся интервалами смежности некоторого нигде не плотного совершенного множества меры нуль. На этом множестве доопределяем функцию F (jc) по непрерывности. Величина ? с таким образом определенной функцией распределения не дискретна, так как ее функция распределения непрерывна, но в то же время ? не непрерывна, так как ее функция распределения не является интегралом от своей производной.
§ 20. Многомерные функции распределения
127
Все введенные нами определения переносятся легко на случай условных вероятностей. Так, например, функцию F(x\B) = Р{| < х|В) мы будем называть условной функцией распределения случайной величины | при условии В. Очевидно, что F(x\B) обладает всеми свойствами обычной функции распределения.
§ 20. Многомерные функции распределения
Для дальнейшего нам необходимо не только понятие случайной величины, но и понятие случайного вектора или, как часто говорят, многомерной случайной величины.
Рассмотрим вероятностное пространство (Г2, Р), на котором опре-
делены п случайных величин
?i = /i(w)> ?г = /2(°j)> • • • ¦> %п = /и (со)
(функции измеримы). Вектор (?,, ?2, • •• > ?л) называется случай-
ным вектором или п-мерной случайной величиной. Пусть (?i, ?2, . . ., ?„) случайный вектор. Обозначим через < xlt%2 <*2> • • - мно-
жество тех элементарных событий со, для которых одновременно выполняются все неравенства
Л(со) < хи /г(со) < х2).. . , /„(со) < х„.
Поскольку это событие является произведением событий {fk (oj) < хк} (1 < к < п), оно принадлежит множеству Ъ , т.е.
{?1 < *1, Ь < Х2,..., ?„<*„}€
