Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
1 ~Г(й/2) \ v! /
Отсюда, в частности, при л = 1 мы получим, естественно, плотность распределения, равную удвоенной плотности исходного нормального закона
у(у) =\/27лге~>,2/2 (у> 0).
При п " 3 мы получаем известный закон Максвелла
^>{y)^3-^-y2e^3yl/2.
VJT
Из формулы (6) легко вывести плотность распределения величины х2-Эта плотность равна 0 при* < 0, а при * > 0
Рп(х):
хп/2-1 g-,/2
2"/2Г(и/2)
Распределения величин, тесно связанных с х и часто используемых на практике, сведем в следующую таблицу:
Таблица 13
Величина
Плотность распределения при х> 0
1 /I
х2 = - ? (ik - а)7
о1 к= 1 *
1 1 п
- х2 = — ^ (Sfc- а)г
п
по2 fc = 1
/1 п
X ~ v — ^
a' fc = 1
¦Л ^
по1 к = 1
Г = — =v— S (f*-*)2
./и и
хп/2-1е-х/2
2п11г(п/2) (п/2)пП
Г(и/2)
2
2п/2г(«/2)
хп/2-\е-пх/2
Ч/*Г /^у 1 с_„х>/2
Г(«/2) \ V2
§21. Функции от случайных величин
143
Пример 4. Функция распределения ч а с т н о г о. Пусть плотность распределения вероятностей величины (?, п) равнар(х? у). Требуется найти функцию распределения частного f = % /17.
Согласно определению
Ff(x) = РЦ/т, < х}.
Если % и V изображают координаты точки на плоскости, то Fj (х) равна вероятность того, что точка (?, 17) попадает в область, координаты точек
Рис. 17
которой удовлетворяют неравенству §/г? < х. На рис. 17 эта область заштрихована.
Согласно общей формуле искомая вероятность равна
оо z X 0 00
fy(x) = / / р(у, z)dydz + / / р(у, z)dydz, (7)
О — оо _ оо г х
Отсюда вытекает, что если ? и 17 независимы, а р, (х) и (х) — их плотности распределения, то
оо О
/ Fl(xz)pi(z)dz + / (1 -Fi(xz))p2(z)dz. (7')
о —00
Продифференцировав (7), находим, что
Р{(х) = fzp(zx,z)dz- f zp(zx,z)dz, о — 00
(8)
144 Гл. 4. Случайные величины
В частности, если ? и т? независимы, то
оо О
PfO)= SzP\(zx)P2(z)dz - f zPi(zx)p2(z)dz. (8')
о — «
Пример 5. Случайная величина (?, т?) распределена по нормальному закону
1 ( 1
Р (х, V) = ---------- ----— ехр - —------------
2ti0\02 V1 —т “( Г ^
Найти функцию распределения частного f = |/т?. По формуле (8)
1
pt(x) = -------------- ~ X
2 7Г0i02 V 1 -Г2
х* ху
— ~2 г------------
а\ Oi а2
--1! 2 о\ ]1
0 ( z2 \ а\х2—2гаха2х + а}Л\
[f-f]z exp —-----------------—--------\\dz =
о I 2(1 -г2) L oioi JJ
1 “ | z2 а1х2-2гаха2х +а]\
=--------- ._ f z ехр---------- .----------------------—-\dz.
тга.а.^Г^1 о I 2(1—г ) а,а2 ]
Произведем под интегралом замену, положив z2 а\х2 — 2 гахо2х + а\
(1-г2) о\о\
г
Выражение для р$ (jc) при этом принимает такой вид:
0\0г V 1 -г2 7_-uJu- о2 У^~1~—_______
^ п(о2х2—2 roto2x + а?) 0 тг(а2х2— 2 га{а2х + а?)
если, в частности, величины % и т? независимы, то а 1 а2
Pi(x) =
7Г(0 1 + о\х2)
§21. Функции от случайных величин
145
Плотность распределения величины f называется законом Коши. Пример 6. Распределение Стьюдента. Найти функцию распределения частного f =?/т?, где ? и г\ — независимые величины, причем ? распределено по нормальному закону
Гп -А* = V — е
2 тг
а V = X I (см- пример 3),
1 яу
* г-
Согласно формуле (8*)
°° Г~п —nzlx* у/2п (zy/Hy-* — pf(x)= fz V — е 2 — I —— е dz =
о
\ЛгГ(л/2) о \\/"2 Сделав замену
nz2
и = ---------(jc + 1),
2
находим, что
г(^)
(jc2 + 1) 2 “ i=J \ 2 / „ _ -2JLS
