Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
pf(jc)=----------------fu 2 е Udu=---------------------(* +1)
\АтгГ(л/2) о \ЛтгГ(и/2)
Плотность распределения вероятностей
п + 1\
2/ - —
Р?(*)= ----------------(¦!+*?) 2
Т Г(л/2)
146
Гл. 4. Случайные величины
носит название закона Стьюдента (Стьюдент — псевдоним английского статистика Госсета, впервые нашедшего этот закон эмпирическим путем).
При и = 1 закон Стьюдента превращается в закон Коши.
Пример 7. Поворот осей координат. По функции распределения двумерной случайной величины (|, г/) найти функцию распределения величин
= ? cos а + т} sin а, (9)
ri' = — ? sin а + ri cos а.
Обозначим через F(х, у) и Ф(*, у) функции распределения величин (?,т?) и (? ', т\'). Если мы станем изображать (?, 77) и (? ', г)') как прямоугольные координаты точки на плоскости, то легко видеть, что система осей %'Ori' получается из системы %Ог\ путем поворота последней на
угол а. Мы ограничимся случаем 0 < а < тг/2, предоставив читателю вывод
аналогичных формул для остальных значений а.
Обозначим через р(х, у) плотность распределения вектора (?, 77) и через тг (х, у) — вектора (? , 77'), Из (9) находим, что
?' = ? cos а — 77 sin а,
т}’ = ? sin а + 77 cos а и, следовательно,
п(х< У) ~ Р(х cos а ~ У sin а> * sin а + j cos а). (10)
Это равенство дает возможность получить формулу, связывающую функции распределения векторов (?, т?) и (?', 77'). При разыскании формулы следует учитывать геометрическую картину.
Пример 8. Двумерная случайная величина (?, 77) распределена по нормальному закону
р(х.у)-
Найти плотность распределения случайных величин ?' = ? cos а + 77 sin а, т?' = —| sin а + 77 cos а.
§ 21. Функции от случайных величин 147
Согласно равенству (10)
тг(х', у') = р(х' соь а - .у'sin a, x'sin а + У cos а) =
1 -expj----—Ц- [Ах'2-2Вх'у' +Су'2}),
2 па1 а2 у/ 1 -г2 ' 2(1/")
где обозначено
cos2 a cos а sin а sin2 а
А = ---;--2 г-------+
а} 0\02 о\
cos а sin а sin2 а — cos2 a cos а sin а
В = -----------г
о\ О] (72 о\
sin2 а cos а sin а cos2 а
С = ----+2 г------------+
О2 0\ 02 О2
Из полученной формулы мы заключаем, чго поворот осей переводит нормальное распределение в нормальное.
Заметим, что если угол а выбран так, что
lrolo2
tg 2 а
2 2
а, - а 2
то В = 0 и
Ах'2 By''
п(х\ у') =-------------- е 2(i-'' ) 2(1 — с ).
2 тга,о2 \/ 1 -г2
Это равенство означает, что любая нормально распределенная двумерная случайная величина путем поворота осей координат может быть приведена к системе двух нормально распределенных н езависимых случайных величин. Этот результат может быть перенесен на /7-мерные случайные величины.
Можно доказать более сильное предложение, исчерпывающе характеризующее нормальное распределение вероятностей. Пусть на плоскости имеется невырожденное (т.е. не сосредоточенное на одной прямой) распределение вероятностей. Для того чтобы это распределение было нормальным, необходимо и достаточно, чтобы двумя различными способами
148
Гл. 4. Случайные величины
можно было на плоскости выбрать оси координат и т^От^ такие,
что координаты и ?2, так же как rji и т)2, рассматриваемые как случайные величины с заданным распределением вероятностей, были бы независимы.
§ 22. Интеграл Стилгьеса
Дальнейшее изложение существенно использует понятие интеграла Стилтьеса. Для облегчения изучения последующих параграфов мы приводим здесь определение и основные свойства интеграла Стилтьеса, не останавливаясь при этом на доказательствах.
Предположим, что в интервале (а, Ь) определены функция /(jc) и неубывающая функция F(x) с ограниченной вариацией. При этом мы для определенности будем предполагать, что функция F (х) непрерывна слева. Если а и Ъ конечны, то разделим интервал (а, b) точками д = jc0 < jcx < < jc2 < ... < хп = b на конечное число частичных интервалов (jc,-, jc,+ 1) и образуем сумму
П
2 /(x.-XFfoO-Ffo.!)],
< = 1
где jc, — произвольное число, выбранное в сегменте (*,_,, *, ). Станем теперь увеличивать число точек подразделения, одновременно приближая длину максимального из частичных интервалов к нулю. Если при этом написанная выше сумма стремится к определенному пределу
П
J = lim 2 {f{x,)[F(Xi)-F(Xi,_j)l, (1)
п --*¦ « / = 1