Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
-----------r-----------, t = -------------------
\/\ — r2 °l O-I / о 2
выражение для bx 2 приводится к виду
Ь\2-Ьг\= —//(OiOjVl - г2 tz+ro1o2t2)e 2 2 dz dt
2п
roxo2 aj02Vl - г2
ft е dtfe 2 dz +---------------------- X
2n 2n
_ll
X fte 2 dtfze 2dz=roi02.
Отсюда находим, что
Ж* ~ а) (У ~ b)P(x, y)dx dy = М(?д - М?д)(?2 Mg2)
°i°2
Мы видим, что двумерный нормальный закон (так же, как и одномерный) полностью определяется заданием математического ожидания и дисперсии, т.е. определяется заданием пяти величин М?,,М?2, D?,,D?2 и г.
§ 25. Теоремы о математическом ожидании и дисперсии
Теорема 1. Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной.
Доказательство. Постоянную С мы можем рассматривать как дискретную случайную величину, которая может принимать только одно
170
Гл. 5. Числовые характеристики
значение С с вероятностью единица; поэтому МС = С • 1 = С.
Теорема 2. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий :
М(? + г?) = М? + Mr?.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай дискретных случайных величин % и tj. Пусть а1} а2,.. ., ап,... — возможные значения величины % и Pi, р2, ¦ ¦ ¦ , Рп,... — их вероятности; Ьг, Ъ2,. . . , bk,... — возможные значения величины т\ и qx, цг,... , qk,... — вероятности этих значений. Возможные значения величины % + т? имеют вид а„ + bk (к, п = 1,2,...). Обозначим через рпк вероятность того, что % примет значение а„, а т? — значение Ьк. По определению математического ожидания
М(? + т?)= ? (ап + bk)pnk = I I (а„ + Ьк)рпк =
п,к = 1 n = l к = 1
= ? ап ( 2 р„к) + ? ) .
Л = 1 fc = 1 fc = 1 /7 = 1
Так как по теореме о полной вероятности 2 и 2 Pnk=qk,
к=1 л=1
ТО
? ? Р„*= 2 апрп = Щ
Л ~ 1 fc = l л — 1
И
? м ? p„fc) = ? = мт?.
fc=l n=l k=l
Доказательство теоремы для случая дискретных слагаемых завершено. Точно так же в случае, когда существует двумерная плотность распределения р(х, у) случайной величины (?, т?), по формуле (3) § 23 находим:
Mf = М(? + т}) = fxdF$(x) = fx(fp(z, х - z)dz)dx =
= tfxp(z, x - z)dz dx = ff(z +y)p(z,y)dz dy =
= //zp (z, y)dz dy + ffyp(z, y) dz dy = fzp^z)dz + Jypn (y)dy = Щ + Mr?.
В общем случае теорема 2 будет доказана нами в дополнении 1. Следствие 1. Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
M(gt + Ь +... + *„) = м?, + мь +... + м$я.
§ 25. Теоремы об ожидании и дисперсии 171
Действительно, в силу только что доказанной теоремы
м«1 +Ь + ••• + ?„) = м?! +м(?2 +?2 + ••¦ + ?„) =
= М?, +М?2 +М(Ь + . = М$, +М?2 + ... + Щп.
Следствие 2. Математическое ожидание суммы
где ц- случайная величина, принимающая лишь целочисленные значения, случайные величины ?i, ?2, . . . не зависят от ц , математическое ожидание ц конечно и ряд
2 М\Цк\Р{ц>к)
А: = 1
сходится, существует и равно
Щ = 2 М?/Р{/и>/}.
/= 1
Доказательство. Действительно, условное математическое ожидание, при условии, что ц = к, равно
M{fM|Ai = ^} = M?1 + М?2 + ... + М?*,.
Безусловное математическое ожидание
МГ = 2 P{ju = fc} = 2 P{ju = fc}2M?,.=
Л=1 Л=1 /=1 '
= 2 М?, 2 Р(м = А:}= 2M?,P(ai>/}.
/= 1 '*=/ /=1
Если слагаемые ?i, ?2, ?3,... одинаково распределены, т.е. если P{?i < х)=?{%2 < х}=...=Р(х),то
МГ/1 = МГ1.М/и.
Действительно,
Mf = 2 Р{м = fc} 2 Щ, = Щг 2 кР{ц = к) = Щг
к=1 /=1 Л=1
Пример 1. Число космических частиц, попадающих на данную площадку, есть случайная величина /л, подчиненная закону Пуассона с параметром а, каждая из частиц несет энергию ?, зависящую от случая. Найти среднюю энергию ?, получаемую площадкой в единицу времени.
Согласно следствию 2 имеем:
М? = М? -MAi = aM?.
172
Гл. 5. Числовые характеристики
Пример 2. По некоторой цели стрельба ведется до л-го попадания. Считая, что выстрелы производятся независимо друг от друга и вероятность попадания при каждом выстреле равна р, найти математическое ожидание расхода снарядов.
Обозначим через %к число снарядов, потраченных от (к — 1)-го до А;-го попадания. Очевидно, что расход снарядов на п попаданий равен
? = +?2 +•-•+?„
и,следовательно,
м? = + мь + ... + м?п.
Но
М$! =щ2 = ... = щп
и
M?t = 2 kqk~lp = ——~2 fc= о (1 - q)
следовательно,
М? = п/р.
Теорема 3. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин ? и г) равно произведению их математических ожиданий.