Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гнеденко Б.В. -> "Курс теории вероятностей " -> 63

Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей — М.: Наука, 1988. — 445 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriiveroyatnostey1988.pdf
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 176 >> Следующая


-----------r-----------, t = -------------------

\/\ — r2 °l O-I / о 2

выражение для bx 2 приводится к виду

Ь\2-Ьг\= —//(OiOjVl - г2 tz+ro1o2t2)e 2 2 dz dt

2п

roxo2 aj02Vl - г2

ft е dtfe 2 dz +---------------------- X

2n 2n

_ll

X fte 2 dtfze 2dz=roi02.

Отсюда находим, что

Ж* ~ а) (У ~ b)P(x, y)dx dy = М(?д - М?д)(?2 Mg2)

°i°2

Мы видим, что двумерный нормальный закон (так же, как и одномерный) полностью определяется заданием математического ожидания и дисперсии, т.е. определяется заданием пяти величин М?,,М?2, D?,,D?2 и г.

§ 25. Теоремы о математическом ожидании и дисперсии

Теорема 1. Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной.

Доказательство. Постоянную С мы можем рассматривать как дискретную случайную величину, которая может принимать только одно
170

Гл. 5. Числовые характеристики

значение С с вероятностью единица; поэтому МС = С • 1 = С.

Теорема 2. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий :

М(? + г?) = М? + Mr?.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай дискретных случайных величин % и tj. Пусть а1} а2,.. ., ап,... — возможные значения величины % и Pi, р2, ¦ ¦ ¦ , Рп,... — их вероятности; Ьг, Ъ2,. . . , bk,... — возможные значения величины т\ и qx, цг,... , qk,... — вероятности этих значений. Возможные значения величины % + т? имеют вид а„ + bk (к, п = 1,2,...). Обозначим через рпк вероятность того, что % примет значение а„, а т? — значение Ьк. По определению математического ожидания

М(? + т?)= ? (ап + bk)pnk = I I (а„ + Ьк)рпк =

п,к = 1 n = l к = 1

= ? ап ( 2 р„к) + ? ) .

Л = 1 fc = 1 fc = 1 /7 = 1

Так как по теореме о полной вероятности 2 и 2 Pnk=qk,

к=1 л=1

ТО

? ? Р„*= 2 апрп = Щ

Л ~ 1 fc = l л — 1

И

? м ? p„fc) = ? = мт?.

fc=l n=l k=l

Доказательство теоремы для случая дискретных слагаемых завершено. Точно так же в случае, когда существует двумерная плотность распределения р(х, у) случайной величины (?, т?), по формуле (3) § 23 находим:

Mf = М(? + т}) = fxdF$(x) = fx(fp(z, х - z)dz)dx =

= tfxp(z, x - z)dz dx = ff(z +y)p(z,y)dz dy =

= //zp (z, y)dz dy + ffyp(z, y) dz dy = fzp^z)dz + Jypn (y)dy = Щ + Mr?.

В общем случае теорема 2 будет доказана нами в дополнении 1. Следствие 1. Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

M(gt + Ь +... + *„) = м?, + мь +... + м$я.
§ 25. Теоремы об ожидании и дисперсии 171

Действительно, в силу только что доказанной теоремы

м«1 +Ь + ••• + ?„) = м?! +м(?2 +?2 + ••¦ + ?„) =

= М?, +М?2 +М(Ь + . = М$, +М?2 + ... + Щп.

Следствие 2. Математическое ожидание суммы

где ц- случайная величина, принимающая лишь целочисленные значения, случайные величины ?i, ?2, . . . не зависят от ц , математическое ожидание ц конечно и ряд

2 М\Цк\Р{ц>к)

А: = 1

сходится, существует и равно

Щ = 2 М?/Р{/и>/}.

/= 1

Доказательство. Действительно, условное математическое ожидание, при условии, что ц = к, равно

M{fM|Ai = ^} = M?1 + М?2 + ... + М?*,.

Безусловное математическое ожидание

МГ = 2 P{ju = fc} = 2 P{ju = fc}2M?,.=

Л=1 Л=1 /=1 '

= 2 М?, 2 Р(м = А:}= 2M?,P(ai>/}.

/= 1 '*=/ /=1

Если слагаемые ?i, ?2, ?3,... одинаково распределены, т.е. если P{?i < х)=?{%2 < х}=...=Р(х),то

МГ/1 = МГ1.М/и.

Действительно,

Mf = 2 Р{м = fc} 2 Щ, = Щг 2 кР{ц = к) = Щг

к=1 /=1 Л=1

Пример 1. Число космических частиц, попадающих на данную площадку, есть случайная величина /л, подчиненная закону Пуассона с параметром а, каждая из частиц несет энергию ?, зависящую от случая. Найти среднюю энергию ?, получаемую площадкой в единицу времени.

Согласно следствию 2 имеем:

М? = М? -MAi = aM?.
172

Гл. 5. Числовые характеристики

Пример 2. По некоторой цели стрельба ведется до л-го попадания. Считая, что выстрелы производятся независимо друг от друга и вероятность попадания при каждом выстреле равна р, найти математическое ожидание расхода снарядов.

Обозначим через %к число снарядов, потраченных от (к — 1)-го до А;-го попадания. Очевидно, что расход снарядов на п попаданий равен

? = +?2 +•-•+?„

и,следовательно,

м? = + мь + ... + м?п.

Но

М$! =щ2 = ... = щп

и

M?t = 2 kqk~lp = ——~2 fc= о (1 - q)

следовательно,

М? = п/р.

Теорема 3. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин ? и г) равно произведению их математических ожиданий.
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed