Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
*) Частотная теория Р. Мизеса и современные идеи теории вероятностей//Вопро-сы философии. - 1961. - Вып. 1. - С. 91—102; Вып. 2. - С. 77—89.
§ 6. Аксиоматическое построение теории
49
В историческом очерке, помещенном в конце книги, отмечено, что как классическое определение вероятности, так и статистическое были впервые четко сформулированы Я. Бернулли
•§ 6. Аксиоматическое построение теории вероятностей
До недавнего времени теория вероятностей представляла собой еще не сложившуюся математическую науку, в которой основные понятия были недостаточно четко определены. Эта нечеткость приводила нередко к парадоксальным выводам (вспомним парадоксы Бертрана). Естественно, что приложения теории вероятностей к изучению явлений природы были слабо обоснованы и встречали порой резкую и обоснованную критику. Нужно сказать, что эти обстоятельства мало смущали естествоиспытателей и их наивный теоретиковероятностный подход в различных областях науки приводил к крупным успехам. Развитие естествознания в начале текущего столетия предъявило к теории вероятностей повышенные требования. Возникла необходимость в систематическом изучении основных понятий теории вероятностей и выяснении тех условий, при которых возможно использование ее результатов. Вот почему особенно важное значение приобрело формально-логическое обоснование теории вероятностей, ее аксиоматическое построение. При этом в основу теории вероятностей как математической науки должны быть положены некоторые предпосылки, являющиеся обобщением многовекового человеческого опыта. Дальнейшее же ее развитие должно строиться посредством дедукции из этих основных положений без обращения к наглядным представлениям, к выводам ’’согласно здравому смыслу”. Иными словами, теория вероятностей должна строиться из аксиом так же, как любая сформировавшаяся математическая наука — геометрия, теоретическая механика, абстрактная теория групп и т.д.
Впервые такая точка зрения была высказана и развита в 1917 г. советским математиком С.Н. Бернштейном. При этом С.Н. Бернштейн исходил из качественного сравнения случайных событий по их большей или меньшей вероятности.
Имеется иной подход, предложенный А.Н. Колмогоровым. Этот подход тесно связывает теорию вероятностей с современной метрической теорией функций, а также теорией множеств. Настоящая книга следует пути, предложенному Колмогоровым.
Мы увидим, что аксиоматическое построение основ теории вероятностей отправляется от основных свойств вероятности, подмеченных на примерах классического и статистического определений. Аксиоматическое определение вероятности, таким образом, как частные случаи включает в себя и классическое и статистическое определения и преодолевает недостаточность каждого из них. На этой базе удалось построить логически со-
50
Гл. 1. Случайные события и их вероятности
вершенное здание современной теории вероятностей и в то же время удовлетворить повышенные требования к ней современного естествознания.
Отправным пунктом аксиоматики Колмогорова является множество
, элементы которого называются элементарными событиями. Наряду с рассматривается множество 3? подмножеств элементарных событий. Множество Зг называется алгеброй множеств, если выполнены следующие требования:
1) Г2 G 5 , ф G Ъ (ф — пустое множество);
2) из того, что А G Э следует, что так же A G Ъ ;
3) из того, что A G Ъ иЙ? Э следует, что
А иве S, А пяеЗг Если дополнительно к перечисленным выполняется еще следующее требование
4) из того, что А„ S <5 (при я = 1,2,...) вытекает, что
ил„е5, пл„ей
п п
то множество % называется а-алгеброй. Элементы 3 называются случайными событиями.
Под операциями над случайными событиями понимаются операции над соответствующими множествами. В результате можно составить словарь переводов с языка теории множеств на язык теории вероятностей, приводимый нами в табл. 5
Таблица 5
Термины
Обозначения теории множеств теории вероятностей
п Множество, пространство Пространство элементарных
событий, достоверное событие
CJ Элемент множества Элементарное событие
А, В Подмножество А, В Случайное событие А, В
А + В =А UB Объединение (сумма) мно Сумма случайных событий А и В
жеств А и В
АВ =А п В Пересечение множеств АиВ Произведение событий А и В
А Дополнение множества А Событие, противоположное для Л
А\В Разность множеств А и В Разность событий А и В
Ф Пустое множество Невозможное событие
АВ = А п В = <fr Множества А и В не пересекают События А и В несовместимы
