Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
44 9 11 0,25 94 8 22 0,23
45 8 1 1 0,24 95 11 22 0,23
46 7 11 0,24 96 9 23 0.24
47 12 1 1 0,23 97 9 24 0,25
48 9 12 0,25 98 10 24 0.25
49 6 12 0,25 99 7 24 0,24
50 7 12 0,24 100 7 24 0,24
• ---Б-
меру 4 искомая вероятность равна, следовательно,
си-си Р /"*1 8
L 36 (18!)4
36!(9!)4
Чтобы составить себе представление о величине этой вероятности и при этом не производить утомительных вычислений, мы воспользуемся формулой Стирлинга, согласно которой имеет место следующее асимптотическое равенство:
/;! ~у/Ъгп ппе~п.
2.Б.В. Гнеденко
34
Гл. 1. Случайные события и их вероятности
Таким образом, имеем:
18! ~
9! ~9VV2S"r9,
36! ~ 3636 -е-36ч/2тг-36,
и значит,
(у/Ът- 18- 1818 -е'18)4
^ДтПбЗб36 ¦ е-36(\/2пг9'¦ 99 ¦ е~9)4
После несложных преобразований находим, что
2 4
------ ~ ~ 0,26
х/Г^г
Естественно возникает вопрос: какое отношение имеют найденные вероятности к реальным явлениям? Чтобы наглядно это ощутить, на одной из лекций был проведен такой эксперимент: студенты принесли несколько колод карт по 36 карт каждая и затем сто раз было произведено разделение колод наудачу на две равные части. В таблице 2 приведены результаты этого эксперимента. В первом столбце указан номер испытания, во втором — число появившихся в одной из полуколод красных карт, в третьем — число случаев деления красных и черных карт пополам среди уже произведенных испытаний и, наконец, в четвертом столбце даны значения частот.
Приводимый на рис. 2 график наглядно представляет изменение частоты /и/n в зависимости от числа испытаний. Вначале, когда число опытов невелико, ломаная линия порой значительно уклоняется от прямой у = р ^ 0,26.
п
0,5
0
10 20 30 k0 50 ВО
___________i________i________I
70 80 30 ПО п
Рис. 2
§ 3. Примеры
35
Затем с увеличением числа опытов ломаная в общем все ближе и ближе подходит к этой прямой.
Пример 6. Имеются п частиц, каждая из которых может находиться
с одной и той же вероятностью — в каждой из N(N> п) ячеек. Найти
N
вероятность того, что: 1) в определенных п ячейках окажется по одной частице, 2) в каких-то п ячейках окажется по одной частице.
Решение. Эта задача играет важную роль в современной статистической физике, и в зависимости от того, как образуется полная группа равновероятных событий, приходят к той или иной физической статистике: Больцмана, Бозе—Эйнштейна, Ферми—Дирака.
В статистике Больцмана равновероятными считаются любые мыслимые размещения, отличающиеся не только числом, но и индивидуальностью частиц: в каждой ячейке может помещаться любое число частиц от 0 до п.
Общее число возможных размещений мы подсчитаем следующим способом: каждая частица может находиться в каждой из N ячеек, следовательно, п частиц можно разметить по ячейкам /V" различными способами.
В первом вопросе число благоприятствующих случаев будет, очевидно, п\ и, значит, вероятность того, что в определенные и ячеек попадет по одной частице, равна п\
Во втором вопросе число благоприятствующих случаев будет в С^ раз больше и, значит, вероятность того, что в какие-то п ячеек попадет по одной частице, равна
СПм-п\ N1
Рг Nn Nn(N - и)! '
В статистике Бозе—Эйнштнейна считаются тождественными случаи, когда частицы меняются местами между ячейками (важно только, сколько частиц попало в ячейку, но не индивидуальность попавших частиц), и полная группа равновероятных событий состоит из всевозможных размещений п частиц по N ячейкам, причем за одно размещение принимается целый класс больцмановских размещений, отличающихся не числами содержащихся в определенных ячейках частиц, а только самими частицами. Для наглядного представления о различии статистик Больцмана и Бозе—Эйнштейна рассмотрим частный пример: N = 4, п = 2. Всевозможные размещения в этом примере можно записать в виде следующей таблицы, в которой а и b - наименования частиц. В статистике Больцмана все 16 возможностей представляют собой различные равновероятные события, в статистике же
36
Гл. 1. Случайные события и их вероятности
Бозе—Эйнштейна случаи 5 и 11,6 и 12,7 и 13,8 и 14,9 и 15, 10 и 16 попарно отождествляются и мы имеем группу из 10 равновероятных событий.
Таблица 3
Случаи 1 2 3 4 5 6 7 8 ¦ 10 11 12 13 14 15 16
