Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
9
ab a a a b b b
Ячейки ab b a a a b b
ab b b a a a b
ab b b b a a a
. 1
Вычислим теперь общее число равновероятных случаев в статистике Бозе—Эйнштейна. С этой целью заметим, что всевозможные размещения частиц по ячейкам мы можем получить следующим путем: расположим ячейки на прямой вплотную друг к другу, расположим далее рядом одну возле другой на той же прямой наши частицы. Рассмотрим теперь всевозможные перестановки частиц и перегородок между ячейками. Таким образом, как легко сообразить, будут учтены всевозможные заполнения ячеек, отличающихся как порядком расположения частиц в ячейках, так и порядком расположения перегородок.
Число этих перестановок равно (N + п — 1)!. Среди этих перестановок имеются и тождественные: каждое распределение по ячейкам считается (N — 1)! раз, так как мы различали, какие перегородки были между ячейками, а кроме того, каждое распределение по ячейкам мы снова считали по п\ раз, так как мы учитывали не только число частиц в ячейке, но и то, какие это частицы и в каком порядке они расположены. Таким образом, каждое распределение по ячейкам мы считали п \ (N — 1)! раз, отсюда число различных в смысле Бозе—Эйнштейна размещений частиц по ячейкам равно
(п + N — 1)!
n'.(N - 1) !
Таким образом, число равновероятных событий в полной системе событий нами найдено. Теперь мы легко можем ответить на вопросы нашей задачи. В статистике Бозе—Эйнштейна вероятности р, и р2 равны
1 _ n'.(N- 1)!
Pl (n + N- 1)! (n+N- 1)!
n \(N — 1)!
§ 3. Примеры
37
Си N\(N-\)\
p =----------— =----------------------_
(n+N — 1)! (TV-и)! (N + n - 1)! n\(N — 1)!
Рассмотрим, наконец, статистику Ферми—Дирака. Согласно этой статистике в ячейке может находиться либо одна частица либо не находится ни одной: индивидуальность частиц уничтожается.
Общее число различных размещений частиц по ячейкам в статистике Ферми—Дирака подсчитать легко: первая частица может быть расположена N различными способами, вторая — только N третья — (N—2) и, наконец, п-я — (N — п + 1) различными способами. Таким образом, п частиц по N ячейкам могут быть расположены
N1
N(N —1)...(7V—и+1)= —-----------
(N - и).
различными равновероятными способами.
Легко сообразить, что в статистике Ферми—Дирака искомые вероятности равны
(N - и)!
Р2 = 1-
Рассмотренный пример показывает, насколько важно точно определять, какие события считаются в задаче равновероятными.
Пример 7. У театральной кассы стоят в очереди 2п человек. Среди них п человек имеют монеты только рублевого достоинства, а остальные — только монеты по 50 копеек. Билет стоит 50 копеек. Каждый покупатель приобретает по одному билету. В начальный момент в кассе нет денег. Чему равна вероятность того, что ни один покупатель не будет ждать сдачу?
Эта задача является переформулировкой вопроса, который возник при изучении проблем управления качеством продукции в процессе производства.
Всевозможные расстановки покупателей равновероятны. Таким образом имеется С2п всех возможных равновероятных случаев. Для разыскания числа благоприятствующих случаев прибегнем к следующему геометрическому приему. Рассмотрим плоскость хОу и допустим, что покупатели в порядке очередности располагаются в точках оси абсцисс с координатами
1, 2, . . . , 2л. В начале координат расположена касса. Припишем каждому лицу, имеющему рубли, значение +1, а имеющему полтинники - значение —1. Будем теперь суммировать последовательно эти значения слева
Зв
Гл. 1. Случайные события и их вероятности
направо и в каждой целочисленной точке отмечать в виде ординаты полученную сумму (рис. 3). Припишем началу координат ординату, равную 0. Соединим концы ординат ломаной и назовем ее траекторией. Ясно, что она на концах отрезка (0, 2л)'имеет ординаты, равные 0.
Каждой траектории поставлено в соответствие определенное расположение лиц с рублями и полтинниками. Интересующему нас событию благоприятствуют те и только те траектории, которые не поднимаются над осью абсцисс.
Вычислим теперь общее число траекторий, достигающих или пересекающих хотя бы раз прямую у = 1. Эти и только эти траектории благоприятствуют противоположному событию, когда хотя бы одному лицу
придется ожидать сдачу. Для этой цели построим новую, фиктивную траекторию. До первого достижения прямой у = 1 она совпадает со старой, а от точки достижения этой прямой она является зеркальным отображением старой траектории относительно прямой у = 1 (на рис. 3 — пунктирная ломаная). Каждая новая траектория начинается в точке (0, 0) и заканчивается в точке (2л, 2). Отсюда вытекает, что единичных подъемов она имеет больше, чем спусков (именно: л + 1 подъем и л — 1 спуск). Отсюда
