Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Наудачу берется хорда в круге. Чему равна вероятность того, что ее длина превосходит длину стороны вписанного равностороннего треугольника?
Решение 1. По соображениям симметрии можно заранее задать направление хорды. Проведем диаметр, перпендикулярный к этому направлению. Очевидно, что только хорды, пересекающие диаметр в промежутке от четверти до трех четвертей его длины, будут превосходить стороны правильного треугольника. Таким образом, искомая вероятность равна 1/2.
Решение 2. По соображениям симметрии можно заранее закрепить один из концов хорды на окружности. Касательная к окружности в этой точке и две стороны правильного треугольника с вершиной в этой точке образуют три угла по 60°. Условию задачи благоприятствуют только хорды, попадающие в средний угол. Таким образом, при этом способе вычисления искомая вероятность оказывается равной 1/3.
Решение 3. Чтобы определить положение хорды, достаточно задать ее середину. Чтобы хорда удовлетворяла условию задачи, необходимо чтобы ее середина находилась внутри круга, концентрического данному, но половинного радиуса. Площадь этого круга равна одной четверти площади данного; таким образом, искомая вероятность равна 1/4.
Мы должны теперь выяснить, в чем причина неоднозначности решения нашей задачи. Лежит ли причина в принципиальной невозможности определить вероятность для случаев бесконечного числа возможных исходов или же причина лежит в том, что мы приняли в процессе решения какие-либо недопустимые предпосылки.
42
Гл. 1. Случайные события и их вероятности
Дело, как легко усмотреть, заключается в том, что за решение одной и той же задачи, пользуясь тем, что в условии задачи не определено понятие проведения хорды наудачу, выдаются решения трех различных задач. В самом деле, в первом решении вдоль одного из диаметров заставляют катиться круглый цилиндрический стержень (рис. 6 а). Множество всех возможных мест остановки этого стержня есть множество точек отрезка АВ длины, равной диаметру. Равновероятными считаются события, состоящие в том, что остановка произойдет в интервале длины А, где бы внутри диаметра ни был расположен этот отрезок. Во втором решении стержень, закрепленный на шарнире, расположенном в одной из точек окружности, заставляют совершать колебания размером не более 180° (рис. 66). При этом предполагается, что остановка стержня внутри дуги окружности длины h зависит только от длины дуги, но не от ее положения.Таким образом, равновероятными событиями считаются остановки стержня в любых дугах окружности одинаковой длины. Несогласованность определений вероятности в первом и во втором решениях становится совершенно очевидной после такого простого расчета. Вероятность того, что стержень остановится в промежутке от А до х, согласно первому реше-х
нию равна —. Вероятность того, что проекция точки пересечения стержня с окружностью во втором решении попадает в тот же интервал, как
в)
показывают элементарно геометрические подсчеты, равна
1 2 x-D
1 — — arccos--------при х > D/2
п D
1 D- 2х
— arccos----------при x^D/2.
п D
§ 4. Геометрические вероятности
43
Наконец, в третьем решении мы бросаем наудачу точку внутрь круга и спрашиваем себя о вероятности попадания внутрь некоторого меньшего концентрического круга (рис. 6 в).
Различие постановок задач во всех трех случаях совершенно очевидно.
Пример 4. Задача Бюффона. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу*) бросается игла длины 21 (/ < а). Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.
х
Рис. 8
Решение. Обозначим через х расстояние от центра до ближайшей параллели и через угол, составленный иглой с этой параллелью. Величины х и у полностью определяют положение иглы. Всевозможные положения иглы определяются точками прямоугольника со сторонами аки. Из рис. 7 видно, что для пересечения иглы с параллелью необходимо и достаточно, чтобы
х < / sin у.
Искомая вероятность в силу сделанных предположений равна отношению площади заштрихованной на рис. 8 области к площади прямоугольника
1 * 21 р =— //sini?<ii?= — . ап о ал
Заметим, что задача Бюффона является исходным пунктом для решения некоторых проблем теории стрельбы, учитывающих размеры снаряда.
Пример 5. На горизонтальную плоскость, разграфленную параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2а, нау-
*) Под словом ’’наудачу” здесь подразумевается следующее: во-первых, центр иглы наудачу падает на отрезок длины 2а, перпендикулярный к проведенным прямым, во-вторых, вероятность того, что угол Iр, составленный иглой и проведенными прямыми, будет заключаться между <р1 и <р, + Aip пропорциональна и, в-третьих, величины х и ip независимы (см. § 7) .
44
Гл. 1. Случайные события и их вероятности
дачу*) брошен выпуклый контур, диаметр которого меньше 2а. Найти вероятность того, что контур пересечет одну из параллельных прямых.
