Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
В\ В2 + . . . + В,1 = Г1.
Особенно существенны для нас в дальнейшем будут полные группы попарно несовместимых событий. Такова, например, при однократном бросании игральной кости система событий
Еи Ег, Е3, Е4, Ei, Е6,
состоящая, соответственно, в появлении 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков.
9) В каждой задаче теории вероятностей приходится иметь дело с каким-либо определенным комплексом условий S и с какой-либо определенной системой S событий, наступающих или не наступающих после каждой реализации комплекса условий ©. Относительно этой системы целесообразно сделать следующие допущения:
а) если системе S принадлежат события А и В, то ей принадлежат также события АВ, А + В, А - В:
б) система S содержит достоверное и невозможное события.
Система событий, удовлетворяющая этим допущениям, называется полем событий.
Заметим еще в заключение, что во всех рассмотрениях теории вероятностей равносильные между собой события могут заменять друг друга. Поэтому мы условимся в дальнейшем любые два равносильных события считать просто тождественными друг другу.
Рассмотрим какую-либо полную систему G попарно несовместимых равновозможных событий (назовем их элементарными событиями) :
Ь | , Ь 2,. . . , t п,
и рассмотрим систему событий S, состоящую из невозможного события ф,
| 2. Поде событий' Классическое определение 27
всех событий Ек системы G и всех событий А, которые могут быть подразделены на частные случаи, входящие в состав системы G. Например, если система G состоит из трех элементарных событий Яь Е2, й Е3, ТО в систему S входят события ф,Еи Ег, Ег, Ех + Ег, Ег + Е3, Ei + Е3,
?2 = Е> + /’.j + ?'з,
Легко установить, что система 5 есть поде событий. В самом деле, очевидно, что сумма, разность и произведение событий из S входят в S; невозможное событие ф входит в S по определению, а достоверное событие Я входит в S так как оно представляется в виде
Q - Е\ + Ег
В соответствии с приведенным определением каждому событию А, принадлежащему к построенному сейчас полю событий S, приписывается вполне определенная вероятность
Р (Л) = т/п,
где т есть число тех событий Е{ исходной группы G, которые являются частными случаями события А. Таким образом, вероятность Р{А) можно рассматривать как функцию от события А, определенную на поле событий S.
Функция эта обладает следующими свойствами:
1. Для каждого события А поля S
Р(А)>0.
2. Для достоверного события ?1 Р(П)= 1.
Ъ.Если событие А подразделяется на частные случаи В и С и все три события А, В и С принадлежат полю S, то
Р(А) = Р(В)+Р(С).
Это свойство называется теоремой сложения вероятностей.
Свойство 1 очевидно, так как дробь m/п не может быть отрицательной. Свойство 2 не менее очевидно, так как достоверному событию ?2 благоприятствуют все п возможных результатов испытания, и поэтому
Р(П) = п/п = 1.
Докажем свойство 3. Пусть событию В благоприятствуют т , а событию С — т событий Ej системы G. Так как события В и С по допущению несовместимы, то события Ei, благоприятствующие одному из них, отличны от событий Е/, благоприятствующих другому. Всего, таким образом, имеется m + m событий Ej, благоприятствующих появлению одного из событий В
28
Гл. 1. Случайные события и их вероятности
или С, т.е. благоприятствующих событию В + С = А. Следовательно,
I , " t tt
т + т т т
Р (Л) =-------= — +— =Р(Я) + Р(С),
п п п
что и требовалось доказать.
Мы ограничимся здесь указанием еще нескольких свойств вероятности.
4. Вероятность события А, противоположного событию А, равна
P(J)= 1 -Р(А).
Действительно, так как
А + А = J2
то, согласно уже доказанному свойству 2,
РС4 +А)= 1,
а так как события А и А несовместимы, то по свойству 3
Р(А +1) = Р04) + Р04).
Два последних равенства доказывают наше предложение.
5. Вероятность невозможного события равна нулю.
В самом деле, события ?2 и ф несовместимы, поэтому
Р(Л) + Р(<р) = Р(Я), откуда следует, что Р(ф) = 0.
6. Если событие А влечет за собой событие В, то Р(А)<Р(В).
Действительно, событие В может быть представлено как сумма двух событий Л и АВ. Отсюда в силу свойств 3 и 1 получаем:
Р(В) = Р(А + АВ) = Р04) + Р(АВ) > Р(А).
7. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей. Из того, что для любого события Л имеют место соотношения
ф С А + ф = А =АП CS2,
следует в силу предыдущего свойства, что имеют место неравенства
О = Р(ф) < Р{А) < Р(?2) = 1.
§ 3. Примеры
29
§ 3. Примеры
Мы рассмотрим теперь несколько примеров вычисления вероятностей событий, пользуясь классическим определением вероятности. Приводимые нами примеры носят исключительно иллюстративный характер и не претендуют на то, чтобы сообщить читателю все основные методы расчета вероятностей.
