Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Ближайшие рассмотрения относятся не только к классическому определению вероятности, но и ко всем дальнейшим обобщениям. Будем считать фиксированным комплекс условий & и станем рассматривать некоторую систему S событий А, В, С.. . *), каждое из которых должно при каждом осуществлении комплекса @ произойти или не произойти**). Между событиями системы 51 могут существовать известные соотношения, с которыми мы постоянно будем иметь дело и которые поэтому прежде всего изучим.
1) Если при каждом осуществлении комплекса условий 0, при котором происходит событие А, происходит и событие В, то мы будем говорить, что А влечет за собой***) В, и обозначать это обстоятельство символом С:
АС. В или символом Э:
В Э А.
2) Если А влечет за собой В и в то же время В влечет за собой А, т.е. если при каждой реализации комплекса условий © события А и В оба наступают или оба не наступают, то мы будем говорить, что события А и В равносильны и будем обозначать это обстоятельство символом = :
А ~ В.
3) Событие, состоящее в наступлении обоих событий А и В, будем называть произведением событий А и В и обозначать Л А
*) События в дальнейшем обилшчаются латинскими прописными буквами Л, В. С, D, Е. . . .
Вместо "произойти” говоря! также "появиться”, ’’иметь место” или “на-ciy пить”.
* * *) Вместо "А влечет за собой В” говорят также ”А является частным случаем В”.
24 Гл. 1. Случайные события и их вероятности
4) Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий Л и В, будем называть суммой событий Л и В и обозначать Л + В.
5) Событие, состоящее в том, что событие А происходит, а событие В не происходит, будем называть разностью событий А и В и обозначать А— В.
6) Событие, состоящее в том, что событие А не происходит, называется противоположным для А и обозначается символом А.
Пусть, например, комплекс условий © состоит в том, что внутри квадрата, изображенного на рис. 1, выбирается наудачу точка. Обозначим через Л событие ’’выбранная точка лежит внутри левого круга” и через В событие ’’выбранная точка лежит внутри правого круга”. Тогда события А, А, В, В, А + В, АВ, А - В, В - А, А - В состоят в попадании выбранной точки внутрь областей, заштрихованных на соответствующих фигурах рис. 1.
Рассмотрим другой пример. Допустим, что комплекс условий © состоит в том, что на стол бросается (один раз) игральная кость. Обозначим через А
Рис. 1
§ 2. Поле событий. Классическое определение
25
выпадение на верхней грани кости *) шести очков, через В — выпадение трех очков, через С — выпадение какого-либо четного числа очков, через D — выпадение какого-либо числа очков, кратного трем. Тогда события А, В, Си D связаны следующими соотношениями:
А С С, A CD, BCD,
А + В = D, CD = А.
Определение суммы и произведения двух событий обобщается на любое число событий:
A+B + ...+N
обозначает событие, заключающееся в наступлении хотя бы одного из событий А, В,. . . , N, а
AB...N
обозначает событие, заключающееся в наступлении всех событий А, В,____N.
7) Событие называется достоверным, если оно с необходимостью должно произойти (при каждой реализации комплекса условий в). Например, при бросании двух игральных костей достоверно, что сумма очков будет не меньше двух.
Событие называется невозможным, если оно заведомо не может произойти (ни при одной реализации комплекса условий @). Например, при бросании двух игральных костей невозможно появление суммы очков, равной тринадцати.
Очевидно, что все достоверные события равносильны между собой. Поэтому законно обозначать все достоверные события одной буквой. Мы будем употреблять для этого букву П. Все невозможные события тоже равносильны между собой. Мы будем обозначать любое невозможное событие знаком ф. _
8) Два события А и А называются противоположными, если для них одновременно выполняются два соотношения:
А + А = J2, ' АА-ф.
Например, если при бросании одной игральной кости С обозначает выпадение четного числа очков, то
П - С = С
есть событие, состоящее в выпадении нечетного числа очков.
В Японии изготовляют теперь кости не только в виде кубов, но также в виде донекиедров и икосаедров.
26
Гл. 1. Случайные события и их вероятности
8) Два события А и В называются несовместимыми, если их совместное появление невозможно, т.е. если
АВ = ф.
Если
А — Вг + В2 + . . . + Вп
и события В,- попарно несовместимы, т.е.
В/ВJ =ф при / Фу,
то говорят, что событие А подразделяется на частные случаи Вх, В2, ¦ ¦ ¦ ,Вп. Например, при бросании игральной кости событие С, состоящее в выпадении четного числа очков, подразделяется на частные случаи Е2, Ец, Еь, состоящие соответственно в выпадении 2, 4 и 6 очков.
События Bi, В2, ¦ ¦ ¦, Вп образуют полную группу событий, если хотя бы одно из них непременно должно произойти (при каждом осуществлении комплекса @), т.е. если
