Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Поле событий. Классическое определение
21
Начнем с так называемого классического определения вероятности. При этом мы увидим, что оно в действительности является не определением, а скорее методом вычисления вероятностей во вполне определенных и сильно ограниченных условиях. Классическое определение исходит из предположения равновозможности как объективного свойства изучаемых явлений, основанного на их реальной симметрии. Понятие равновозможности (равновероятности) является первичным, не подлежащим формальному определению. Оно лишь поясняется рядом простых и доступных примеров.
При бросании на плоскость геометрически правильного куба, изготовленного из однородного материала, любая из шести граней (при подбрасывании наудачу) не имеет реальных преимуществ перед другими. Таким образом, если перенумеровать грани цифрами от 1 до 6, то при бросании куба могут произойти шесть равновероятных событий: выпадение граней 1, 2, 3, 4, 5, 6.
При подбрасывании однородного по плотности правильного двадцатигранника (икосаедра) выпадение каждой грани в силу симметрии одинаково возможно. Мы имеем случай, когда возможны двадцать равновероятных исходов. Представим себе теперь, что при каждом испытании единственно возможны п несовместимых и равновозможных исходов Et, Е2, . .. , Еп.
Слово ’’несовместимый” было введено в науку английским ученым Байесом (1702—1761) и означает, что если наступил какой-нибудь исход Е\, то ни один из остальных п — 1 исходов в этом испытании наступить уже не мог. Так, если при бросании игральной кости выпала грань ”3”, то это означает, что при том же бросании не могла появиться грань ”5”. Каждый такой исход станем называть элементарным событием.
Наряду с элементарными событиями рассматриваются также случайные события. Часто представляет интерес наступление при испытании не какого-то элементарного события, а одного из нескольких определенных элементарных событий. Например, при бросании игральной кости нас может интересовать появление граней с числом очков, больших трех, т.е. появление какого-то из элементарных событий ”4”, ”5”, ”6”. Мы станем говорить в этом случае, что нас интересует случайное событие — выпадение числа очков, больших тре5с. Вообще, если нас интересует появление какого-то из определенных элементарных событий, например, одного из событий Е{ , Е^, . . ., Ei)n, то мы станем говорить, что нас интересует наступление
случайного события А, состоящего в выпадении какого-то из m только что указанных элементарных событий.
Вероятностью случайного события А называется отношение числа несовместимых равновероятностных элементарных событий, составляющих А (т.е. числа т), к числу всех возможных элементарных событий (т.е. к числу п). Вероятность случайного события А обозначается символом Р(^4).
22 ГЛ. 1. Случайные события и их вероятности
Согласно только что данному определений т
Р 04) = — . п
Например, При однократном бросании игральной кости полная группа попарно несовместимых и равновероятных событий состоит из событий
Eit Е3, E4i Eg,- Еь,
которые состоят соответственно в выпадении 1,2,3,4, 5, 6 очков. Событие С — Е$ + Е$ + t(,,
состоящее в выпадении четного числа очков, подразделяется на три частных случая, входящих в состав несовместимых и равновероятных событий. Поэтому вероятность события С равна
P»(t) = 3/6 = 1/2.
Очевидно также, что в силу принятого определения Р(?,)=1/6, 1</<6,
Р(Ё{ + Е2) = 2/6 = 1/Э и т.д.
Рассмотрим теперь бросание двух костей. Если кости правильны, то выпадение каждой иэ 36 Возможных комбинаций числа очков На первой и второй кости можно считать равновероятными. Так, скажем, вероятность выпадения в сумме 12 очков равна 1/36. Выпадение в сумме II очков возможно двумя способами: на первой кости 5, а на другой 6; на первой KoetH 6, а на второй 5. Поэтому вероятность выпадения В еуМме одиннадцати очков paiBHa 2/36 = f/18. ЧйТатель легко проверит, что вероятности ВЫпаденИЯ той ИЛИ иной суммы оЧкоВ даются следующей таблицей:
Таблица (
Чйсло очков г 3 .......;¦---г 5 6 7
4
\ 7 3 4 5 6
Вероятность 36~ 36 36 36 36 36
4WCJ10 ОЧКОВ 8 9 to 11 | 12
5 4 3 2 1
Вероятность 36 36 36 36 36
§ 2. Моле событий. Классическое определение
23
Подсчитаем теперь обшее число возможных случайных событий, которое можно образовать из п элементарных. Очевидно, что можно образовать Сп событий, каждое из которых будет содержать по т каких то элементарных событий (1 < т < п). При т = п случайное событие всегда происходит, т.е. оно является достоверным. Всего, таким образом, образовано
2 С„ - 2" — 1 событий. Добавим теперь ко всем построенным событиям
т - I
еще одно, которому не соответствует ни одно элементарное событие, т.е. состоящее из'пустого множества элементов. Очевидно, что оно никогда не может наступить (поскольку ему не соответствует ни одно элементарное событие). Это случайное событие носит название невозможного события. Таким образом, всех случайных событий в рассмотренном нами случае будет 2".
