Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
следует, что всех новых траекторий будет С2", Значит число событий благоприятствующих событию нашей задачи, будет с'\п — С2"„ и тем самым искомая вероятность равна
§ 4. Геометрические вероятности
Еше в самом начале развития теории вероятностей была замечена недостаточность ’’классического” определения вероятности, основанного на рассмотрении конечной группы равновероятных событий. Уже тогда частные примеры привели к некоторому видоизменению этого определения и построению понятия вероятности также для случаев, когда мыслимо беско-
У
Рис. 3
п + 1 п + 1
п
§ 4. Геометрические вероятности
39
нечное множество исходов. При этом по-прежнему основную роль играло понятие ’’равновероятности” некоторых событий.
Общая задача, которая ставилась и привела к распространению понятия вероятности, может быть сформулирована следующим способом.
Пусть имеется, например, на плоскости некоторая область G и в ней содержится другая область g с квадрируемой границей. В область G наудачу бросается точка и спрашивается, чему равна вероятность того, что точка попадет в область g. При этом выражению ’’точка бросается наудачу в область G” придается следующий смысл: брошенная точка может попасть в любую точку области G, вероятность попасть в какую-либо часть области G пропорциональна мере этой части (длине, площади и т.д.) и не зависит от ее расположения и формы.
Таким образом, по определению, вероятность попадания в область g при бросании наудачу точки в область G равна
mes#
р= --------.
mes G
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Задача о встрече. Два лица А и В условились встретиться в определенном месте между 12 часами и часом. Пришедший первым ждет другого в течение 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи лиц А и В, если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти наудачу и моменты прихода независимы *).
Решение. Обозначим моменты прихода лица А через х и лица В через у. Для тбго чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно, чтобы
| х - у | < 20.
Станем изображать х и у как декартовы координаты на плоскости; в качестве единицы масштаба выберем минуту. Всевозможные исходы изобразятся точками квадрата со сторонами 60; благоприятствующие встрече — расположатся в заштрихованной области (рис. 4).
Искомая вероятность равна**) отношению площади заштрихованной фигуры к площади всего квадрата:
602 - 402 5
*) То есть момент прихода одного лица не влияет на момент прихода другого. Понятие независимости событий будет подробно рассмотрено в § 9.
**) В § 9 мы увидим, что в силу независимости моментов прихода лиц Л и В вероятность того, что лицо А придет в промежуток от х до х + h, а лицо В - в промежу-h s
ток от у до y+s, равна — • —^, т.е. пропорциональна площади прямоугольника со сторонами И и s.
40
Гл. 1. Случайные события и их вероятности
Некоторые инженеры-исследователи применяли задачу о встрече к решению следующей проблеме организации производства. Рабочий обслуживает несколько однотипных станков, каждый из которых в случайные моменты времени может потребовать внимания рабочего. Может случиться, что в то время, когда рабочий занят у одного станка, потребовалось его вмешательство у других станков. Требуется найти вероятность этого события, т.е., иными словами, среднюю длительность ожидания станком рабочего (иначе говоря, простой станка). Заметам, однако, что схема задачи о
0 20
Рис. 4
встрече мало пригодна для решения этого производственного вопроса, так как никакого условленного времени, в течение которого станки обязательно требуют к себе внимания рабочего, не существует, а длительности операции рабочего у станка не постоянны. Помимо этой основной причины, нужно указать на сложность вычислений в задаче о встрече для случая большого числа лиц (станков). А эту задачу нередко нужно решать для большого числа станков (в текстильном производстве, например, некоторые ткачихи брали на обслуживание по несколько десятков станков).
Пример 2. Коэффициенты р и q квадратного уравнения
х2 +рх + q = О
выбираются наудачу в промежутке (0, 1). Спрашивается, чему равна вероятность того, что корни будут действительными числами?
Чтобы корни квадратного уравнения были действительными числами, необходимо и достаточно выполнение неравенства р2 > 4q. В прямоугольных декартовых координатах (рис. 5) множество всех возможных пар чисел (р, q) задается точками квадрата с вершинами (0, 0), (0, 1), (1,1), (1, 0). Точки же, благоприятствующие нашему событию, лежат под пара-
* - 1 2
болои q = — р . Таким образом, согласно определению, искомая
§ 4. Геометрические вероятности
41
вероятность равна
о 4
1
1
12
Задачи, подобные только что рассмотренной, нашли интересные применения в теории-чисел и в ряде научных и технических применений.
Пример 3. Парадокс Бертрана. Теория геометрических вероятностей неоднократно подвергалась критике за произвольность определения вероятности событий. При этом авторы приходили к убеждению, что для бесконечного числа исходов нельзя дать объективного, на зависящего от способа расчета, определения вероятности. В качестве особенно яркого выразителя этого скептицизма можно привести французского математика прошлого века Жозефа Бертрана. В своем курсе теории вероятностей он привел ряд задач на геометрические вероятности, в которых результат зависел от метода решения. В качестве примера приведем одну из задач, рассмотренных Бертраном.
