Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 1. Бросаются три игральные кости. Что вероятнее: получить в сумме выпавших очков 11 или 12?
Эта задача, как это видно из исторического дополнения, была одной из первичных, на которой формировались понятия и методы теории вероятностей. Утверждают, что с ней связана и следующая легенда: однажны к Галилею (а кто говорит, что к Гюйгенсу) за консультацией обратился ландскнехт. Его интересовал именно предложенный нам вопрос. Ландскнехт оказался мыслящим человеком, склонным к теоретическому и экспериментальному мышлению. Он заявил Галилею, что согласно логике обе эти суммы должны появляться одинаково часто, но опыт учит другому, а именно, что сумма 11 появляется чаще, чем 12. В чем здесь дело?
Обоснование ландскнехта на первый взгляд звучит убедительно: числа 11 и 12 оба могут быть разложены на сумму трех положительных слагаемых лишь шестью различными способами, а именно,
11=1+5+5=1+4+6=2+3+6=2+4+5=
= 3 + 3 + 5 = 3 + 4 + 4;
12=1+5+6=2+4+6=2+5+5=3+4+5=
= 3 + 3 + 6 = 4 + 4 + 4; отсюда по его мнению вытекает равновозможность обоих интересующих нас событий.
Однако Галилей возразил ему, сказав, что каждое из этих разложений следует снабдить еще определенным весом и пояснил свою мысль таким рассуждением. Назовем кости "первой”, ’’второй” и ’’третьей”; тогда
разложение 1+5+5 на самом деле может произойти не одним, а тремя
различными способами:
1+5 + 5 = 5 + 1+ 5 = 5 + 5 + 1,
т.е. единица может выпасть на первой, второй или третьей кости. Точно также разложение 1 +4 + 6 может произойти следующими шестью различными способами:
1+4+6 “1+ 6 + 4 = 4+ 1 + 6 = 4+ 6+1 =
= 6+ 1 +4 = 6 + 4+ 1.
Таким образом, 11 в сумме может появиться не шестью, а 27 различными равновозможными способами. Сумма же 12, оказывается, разлагает-
30
Гл. 1. Случайные события и их вероятности
с я лишь 25 различными способами. Здесь все дело в том, что разложение 4 + 4 + 4 осуществимо лишь одним способом.
Теперь заметим, что общее число всех возможных равновероятных выпадений трех игральных костей равно 63 = 216. Это было правильно подсчитано еще в XII веке.
Обозначим через А и В случайные события, состоящие в выпадении соответственно 11 и 12 очков в сумме. Тогда согласно данному нами классическому определению вероятности,
Р04) = 27/216 и Р(Д) = 25/126.
В математической статистике показывается, что для уверенного разделения двух вероятностей, отличающихся менее чем на одну сотую, нужно произвести много тысяч испытаний.
Пример 2. Из колоды карт (36 карт) наудачу вынимаются три карты. Найти вероятность того, что среди них окажется точно один туз.
Решение. Полная группа равновероятных и несовместимых событий в нашей задаче состоит из всевозможных комбинаций по три карты, их число равно Сзб- Число благоприятствующих событий можно подсчитать следующим способом. Один туз мы можем выбрать СI различными способами, а две другие карты (не тузы) можно выбрать С\2 различными способами. Так как для каждого определенного туза две остальные карты могут быть выбраны С\2 способами, то всего благоприятствующих случаев будет С\ ¦ С32 ¦ Искомая вероятность, таким образом, равна 4 32-31
С\-С\2 1 1-2 31-16 496
р =-------- =------------=------------=------ss 0,2778,
С\ь 36-35-34 35-3-17 1785
1-2-3
т.е. немного больше 0,25.
Пример 3. Из колоды карт (36 карт) наудачу вынимаются три карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.
Решение. Обозначим интересующее нас событие буквой А: оно может быть представлено в виде суммы трех следующих несовместимых событий: At — появление одного туза, А2 — появления двух тузов, А 3 — появления трех тузов.
Рассуждениями, аналогичными тем, которые мы привели при решении предыдущей задачи, легко установить, что число случаев, благоприятствующих
событию А | равно С\-С\2,
А 2 С 4 • С 3 2 ,
л3 ” с\-с%2.
§ 3. Примеры 31
Так как число всевозможных случаев равно С36, то
С\-С\2 16-31
С\6 з - 35 • 17
Р(Л,)=——----: = --—^ 0,2778,
С\С\2 3-16
Р (А2)=-----т— =------------*=0,0269,
С\ь 3-35-17
С\-С%2 1
Р(А3) =-----г---- =---------^0,0006.
С з6 3-35-17
В силу теоремы сложения
109
Р(Л) = Р(А,) + Р(А2) + Р(/13) = J7YJ-- * 0,3053.
Этот пример можно решить и иным методом. Событие А, противоположное А, состоит в том, что среди вынутых карт не окажется ни одного туза.
Очевидно, что три нетуза можно вынуть из колоды карт С 2 различными
способами и, следовательно,
С\2 32-31-30 31-8
Р{А) = —f—=-----------------------------------=-=“ 0,6947.
С3,„ 36-35-34 3-17-7
