Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
В артиллерийской практике производится так называемая пристрелка, имеющая своей целью уточнить наши знания относительно условий стрельбы (например, правильность прицела). В теории пристрелки широко используется формула Байеса. Мы ограничимся приведением чисто схематического примера исключительно ради иллюстрации характера задач, решаемых этой формулой.
*) Т. Байес приведенных формул не выводил, он ограничился записью формулы
(1) настоящего параграфа. Приведенные формулы были выписаны лишь П. Лапласом в конце XVIII века.
62 Гл. 1. Случайные события и их вероятности
Пример 1. Имеются пять урн следующего состава:
2 урны (состава Аг) по 2 белых и 3 черных шара,
2 урны (состава А2) по 1 белому и 4 черных шара,
1 урна (состав А3) — 4 белых и 1 черный шар.
Из одной наудачу выбранной урны взят шар. Он оказался белым (событие В). Чему равна после опыта вероятность (апостериорная вероятность) того, что шар вынут из урны третьего состава?
Решение. Согласно предположению
РС-40 = 2/5, Р042) = 2/5, Р04з)=1/5; Р(Д 1Л!) = 2/5, ?(В\А2) = 1/5, Р(Я1Лз) = 4/5.
Согласно формуле Байеса имеем:
Р043)Р(Д1Лз)
Р(Л31Я) =
Р(А1)Р(В\А1) + Р(А2) Р(В\А2) + Р(А3) Р(Ди31
1 4
5 5 4 2
2 2 12 14 10 5
5~ 5^ 5 ' 5~ ~5~ ' ~5~
Точно так же находим:
P(4i IД) = 2/5, Р(Л21Д)=1/5.
^ 8. Примеры.
Мы приведем несколько более сложных примеров на использование изложенной теории.
Пример 1*). Два игрока А и В продолжают некоторую игру до полного разорения одного из них. Капитал первого равняется а руб., капитал второго — Ъ руб. Вероятность выигрыша каждой партии для игрока А равна р, а для игрока В равна q; р + q = 1 (ничьи отсутствуют). В каждой партии выигрыш одного игрока (и, значит, проигрыш другого) равняется
*) Мы сохраняем для этой задачи ”о разорении игрока” ее классическую формулировку, но возможны и иные формулировки, например: материальная частица находится на прямой в точке О и каждую секунду подвергается случайному толчку, в результате которого передвигается на 1 см вправо с вероятностью р или на 1 см влево с вероятностью q = 1 - р. Чему равна вероятность того, что материальная частица окажется правее точки с координатой Ьф > 0), прежде чем она попадет в положение, расположенное левее точки с координатой а{а < 0,а а b - целые числа) ?
Задача о разорении игрока была предложена и впервые изучена X. Гюйгенсом. Мы предполагаем, что вероятность события ’’разорение игрока” существует.
§ 8. Примеры 63
1 рублю. Найти вероятность разорения каждого из игроков (результаты отдельных партий предполагаются независимыми).
Решение. Обозначим через рп вероятность разорения игрока А, когда он имеет п руб. Очевидно, что искомая вероятность есть ра и что
Ра + ь =0, Ро = 1, (!)
поскольку в первом случае игрок А уже сосредоточил в своих руках весь капитал, а во втором он уже ничего не имеет.
Если игрок А имел п руб. перед некоторой партией, то его разорение может осуществиться двумя различными способами: или он очередную партию выиграет, а всю игру проиграет, или он проиграет и партию и игру. По формуле полной вероятности поэтому
Рп — Р " Рп +1 + Я ' Рп — 1 •
Относительно рп мы получили уравнение в конечных разностях; легко видеть, что его можно записать в следующем виде:
QiPn -Pn-l)=P(Pn + l -Рп)- (2)
Рассмотрим сначала решение этого уравнения при р - q = 1/2. При этом допущении
Рп+1 ~Рп "Рп - Рп-i = • • - = Pi - Ро =с,
где с — постоянная. Отсюда находим, что
Рп =Ро +пс.
Поскольку ро = 1 и ра+ь = 0, то п
a + b
Таким образом, вероятность разорения игрока А равняется
а b
р = 1 — ------ = ——— .
“ а+b а+Ъ
Подобным же путем найдем, что в случае р = 1/2 вероятность разорения игрока В равна
<1ъ
а + Ъ
В общем случае при р Ф q из (2) находим, что
q" flSPk~Pk~l)=pn ^{Pk+l ~Рк)'
64
Гл. 1. Случайные события и их вероятности
После сокращений и учета соотношений (1) находим, что
Pn+i -Рп = (Ф)П(Р 1 - О-
Рассмотрим разность ра + ь ~Рп\ очевидно, что
Ра + Ь ~ Рп ~ 2 (Рк+1-Рк)= 2 (q/P)k(Pl ~ 1) =
к=п к=п
(я/рГ ~(я/рУ+ь
= (Р 1 - О----;---;------ •
1 - q/p
Поскольку ра+ь =0, то
шп-ша+ь
P„ = 0-Pi)- , ,
I-q/p
а так как р0 = 1, то
(Ф)°-(Ф)а+Ь
1 = (1 -Pi)- , .
1 - q/p
Исключив из двух последних равенств величину рх, находим, что
