Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим теперь, что событие В может осуществиться с одним и только с одним из п несовместимых событий А1г А2, . . . , А„. Иными
§ 7. Условная вероятность и основные формулы
59
словами, положим, что
5=2 BAh (5)
i = i
где отбытая ВА, и BAj с разными индексами / и / несовместимы. По теореме сложения вероятностей имеем:
Р(Я) = 2 Р(ВА,).
i = 1
Использовав теорему умножения, находим, что
р00= 2 РЙ,)РСв U,).
< = 1
Это равенство носит название формулы полной вероятност и*) и играет основную роль во всей дальнейшей теории.
В качестве иллюстрации рассмотрим два примера.
Пример 1. Имеется пять урн:
2 урны состава А! - по два белых шара и одному черному,
1 урна состава А2 — по 10 черных шаров,
2 урны состава А3 — по 3 белых шара и одному черному.
Наудачу выбирается урна и из нее наудачу вынимается шар.
Чему равна вероятность, что вынутый шар белый (отбытие В) ?
Ре ш е н и е. Так как вынутый шар может быть только из урны 1-го,
2-го или 3-го состава, то В^А^В +А2В+А3В.
По формуле полной вероятности находим, что
Р(Л) = Р(Л1)Р(5 М1) + Р(Л2)Р(5\А2) + Р(А3)Р(В \А3).
Но ясно, что
РС41) = 2/5, РС42)=1/5, РС4з) = 2/5,
P(5U,) = 2/3, Р(Я1Л2) = 0, Р(Я1Л3) = 3/4.
Таким образом,
Р(В) = 2/5 -2/3 + 1/5 -0 +2/5 ¦ 3/4= 17/30.
Пример 2. Известно, что вероятность поступления к вызовов на телефонную станцию за промежуток времени t равна Pt(k) (к = 0,1,2,...) .
*) Формула полной вероятности широко использовалась математиками начала XVIII века, но впервые была сформулирована как основное предложение теории вероятностей П. Лапласом лишь в конце XVIII века.
60 ¦ Гл. 1. Случайные события и их вероятности
Считая, что появления какого-либо числа вызовов за два соседних промежутка времени являются событиями независимыми найти вероятность поступления s вызовов за промежуток времени длительности 21.
Решение. Обозначим через Ак событие, состоящее в поступ-
лении к вызовов за время от а до а + т. Очевидно, что мы имеем следующее равенство:
лs — л0 as + + As л0
л0, 2t Л0,ГЛ r,2f • ¦ ¦ *0,t л t,2 t ’
которое означает, что событие 2t можно рассматривать как сумму s + 1 несовместимых событий, состоящих в том, что за первый промежуток времени длительности t поступает i вызовов, а за следующий промежуток той же продолжительности поступает s — i вызовов (г = 0,1, 2,..., х). По теореме сложения вероятностей
Р(Л'0>2,) = 2 Р(А^А^).
г = О
По теореме умножения вероятностей для независимых событий
p(4,f<V) = p(<f)p(42h-
Таким образом, если положить />2f(x)=P(^02f),
то
P2f(x) = 2 Pt(i)-Pt(s-i). (6)
i = 0
Впоследствии мы увидим, что при некоторых весьма общих условиях (*: = 0,1,2 ...)
ifltf
W = ‘ ’ (7) где а — некоторая константа.
Из формулы (6) мы находим, что
s (atfe~2at . s 1
Р (S)= 2 —— ------------ =(at)se~2at 2 ---------------- .
г=о /!(s — /)¦' * = о z!(s — z)!
Ho
* 1 1 * s! 1 2s
----ГГГ =—Г ---— = —(1 + 1/-
f=o/!(s —/)! s! i=o i!(s -/)! x! x!
§ 7. Условная вероятность и основные формулы
61
Поэтому
(2atfe-2at
^2Д*)= --------:------ (* = 0,1,2,...).
s!
Таким образом, если для промежутка времени длительности t имеет место формула (7), то для промежутков времени, в два раза больших, и, как легко убедиться, для любых кратных Г промежутков времени характер формулы для вероятности сохраняется.
Мы в состоянии теперь вывести важные формулы Байеса или, как иногда говорят, вероятности гипотез. Пусть попрежне1у1у имеет место равенство (5). Требуется найти вероятность события А/, если известно, что В произошло. Слогласно теореме умножения имеем:
PiAfB) = Р(В) Р(А{\В) = Р(4,-) Р(В\Ад-Отсюда
Р(АдР(В\Ад
Р(А; 5) = --------------------- ,
у 1 ’ Р (В)
используя формулу полной вероятности, находим, что
Р (А, ) Р (В 1.4,-)
Р(Л,1Д) = п -1±-.
2 Р04,) Р(В I А/)
/'= 1
Полученные нами формулы носят название формул Байеса*). Общая схема применения этих формул к решению практических задач такова. Пусть событие В может протекать в различных условиях, относительно характера которых может быть сделано п гипотез: А1г А2, . ¦ . , Ап .По тем или иным причинам нам известны вероятности Р (4,-) этих гипотез до испытания. Известно также, что гипотеза А{ сообщает событию В вероятность Р(B\Aj). Произведен опыт, в котором событие В наступило. Это должно вызвать переоценку вероятностей гипотез А:- — формулы Байеса количественно решают этот вопрос.