Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
= (д/р)а+ь-(ФГ Рп (ФУ+Ь -1
Отсюда вероятность разорения игрока А
qa+b-qaqb I ~ (p/q)b
Ра =¦
qa+b — ра+ь 1 -(p/qy + b
Подобным же путем находим, что вероятность разорения игрока В при p^q равна
1-(ФУ
Яь
1 - (я/р)
а + Ь
Из этих формул мы можем сделать следующие выводы: если капитал одного из игроков, например В, несравненно больше капитала игрока А, так что практически b можно считать бесконечно большим по сравнению с а, а игроки одинаково искусны, то разорение В практически невозможно. Вывод будет совсем иной, если А играет лучше, чем В, и, значит, р > q. Считая b ~ , находим, что
Яь ~ 1 - (я/р)а
И
Ра~Ша•
§ 8. Примеры
65
Отсюда мы делаем тот вывод, что умелый игрок даже с малым капиталом может иметь меньше шансов на разорение, чем игрок с большим капиталом, но менее умелый.
К задаче о разорении игрока сводится решение некоторых задач физики и техники.
Пример 2. Найти вероятность того, что станок, работающий в момент 10, не остановится до момента t0 + t, если известно, что 1) эта вероятность зависит только от величины промежутка времени (t0, t0 + t), 2) вероятность того, что станок остановится за промежуток времени At пропорциональна At с точностью до бесконечно малых высших порядков*) относительно At.
Решение. Обозначим вероятность через p(t). Вероятность того, что станок остановится за промежуток времени At равна
1 -p(At) = aAt + o(At),
где а — некоторая постоянная.
Определим вероятность того, что станок, работавший в момент t0, не остановится до момента t0 + t + At. Для осуществления этого события необходимо, чтобы станок не остановился за периоды времени длины t и At\ в силу теоремы умножения, таким образом,
p(t + At)=p(t) -p(At)=p(t)( 1 - aAt -o(At)).
Отсюда
p(t + At)-p(t) At
= -ap(t)-o( 1). (3)
Перейдем теперь к пределу, положив At -*¦ 0; из того, что существует предел правой части равенства (3), вытекает, что существует также предел левой части. В результате находим, что
Ф(0 А
—-— = ~ap(t). dt
Решение этого уравнения есть функция p(t) = Ce~at,
где С — постоянная, Эта постоянная находится из того очевидного условия, что р(0) = 1, Таким образом,
P(t)-eat.
*) В дальнейшем для записи того факта, что некоторая величина а бесконечно мала сравнительно с величиной (3, мы будем пользоваться записью а = о ((3). Если же отношение а/13 ограничено по абсолютной величине, то мы будем писать а = О ({3). 3 Б.В. Гнеденко
66
Гл. 1. Случайные события и их вероятности
Первое условие задачи налагает на режим работы станка большие ограничения, однако существуют производства, где оно выполняется с большой степенью точности. В качестве примера можно привести работу автоматического ткацкого станка. Заметим, что к рассмотренной задаче сводится много других вопросов, например, вопрос о распределении вероятностей длины свободного пути молекулы в кинетической теории газов.
Пример 3. При составлении таблиц смертности часто исходят из таких допущений: 1) вероятность того, что некоторое лицо умрет в возрасте от t до t + At равна
p(t, t + At) = a(t)At + o(At),
где a (t) — неотрицательная, непрерывная функция.
2) считается, что смерть данного лица (или его выживание) за рассматриваемый промежуток (?!, t2) возраста не зависит от того, что было до момента t х, 3) вероятность смерти в момент рождения равна нулю.
Исходя из высказанных предположений, найти вероятность смерти лица Л до того, как оно достигнет возраста t.
Решение. Обозначим через эт(?) вероятность того, что лицо А доживет до возраста t, и вычислим я(f + At). Очевидно, что из допущений, принятых в задаче, вытекает равенство
эт(Г + Дг) = 7r(t)n(t + A t; t),
где эт(? + At-, t) обозначает вероятность дожить до возраста t + At, если лицо А уже дожило до возраста t. В соответствии с первым и вторым допущениями
я(Г + Дг; t) = 1 -p(t, t + At) = 1 ~a(t)At - o(At); поэтому
я(г + Дг) = 7г(г)[1 - a(t)At - о(Дг)].
Отсюда находим, что n(t) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:
dir(t)
—— =-а(г)эт(г). dt
Решением этого уравнения при учете третьего условия задачи будет функция
г
—f a(z)dz
я(г) = е
§ 8. Примеры
67
Вероятность умереть прежде, чем будет достигнут возраст t, таким образом, равна
t
— f a(z)dz
1 — тг(Г) = 1 - е
При составлении таблиц смертности для взрослого населения нередко пользуются формулой Макегама, согласно которой
a(t) = а + /3e7f,
постоянные а, /3, у — положительны*). При выводе этой формулы исходили из допущения, что взрослый человек может умереть от причин, не зависящих от возраста, и причин, зависящих от возраста, причем вероятность смерти растет с увеличением возраста в геометрической прогрессии, При таком дополнительном предположении
