Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
(понятно, что г <^к,г < т) . Если событие В произошло, то это означает, что наступило одно из событий А/, благоприятствующих В. При этом условии событию А благоприятствуют г и только г событий А у, благоприятствующих АВ. Таким образом,
г rjn Р (АВ)
Р(А \В)=— =—- = ——. (1)
к к/п р (В)
Понятие независимости событий играет значительную роль в теории вероятностей и в ее приложениях. В частности, большая часть результатов, изложенных в настоящей книге, получена в предположении независимости тех или иных рассматриваемых событий.
В практических вопросах для определения независимости данных событий редко обращаются к проверке выполнения для них равенств (3) и (4). Обычно для этого пользуются интуитивными соображениями, основанными на опыте.
Так, например, ясно, что выпадение герба на одной монете не изменяет вероятности появления герба (решки) на другой монете, если только эти монеты во время бросания не связаны между собой (например, жестко не скреплены). Точно так же рождение мальчика у одной матери не изменяет вероятности появления мальчика (девочки) у другой матери. Это события независимые.
Для независимых событий теорема умножения принимает особенно простой вид, а именно, если события А и В независимы,
§ 7. Условная вероятность и основные формулы
57
Т О
Р(АВ) = Р(Л) • Р(В).
Точно так же, если Р(Л) > 0, то Р(АВ)
р(В\А)=——(Г)
Р (А)
Понятно, что если В (соответственно, А) есть невозможное событие, то равенство (1) (соответственно (I1)) теряет смысл.
Заметим, что рассуждения, проведенные нами в примерах 1 и 2, не являются доказательствами, а представляют только мотивировки определений, данных равенствами (1) и (I1).
При р(/1)Р(2?) > 0 каждое из равенств (1), (1*) эквивалентно так называемой теореме умножения, согласно которой
Р(АВ) =Р(А) Р(В \А) =Р(В) Р(А I В), (2)
т.е. вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при условии, что первое произошло.
Теорема умножения применима и в том случае, когда одно из событий А или В есть невозможное событие, так как в зтом случае вместе с Р(А) = 0 имеют место равенства Р(А \В) = 0 и Р(АВ) = 0.
Говорят, что событие А независимо от события В, если имеет место равенство
Р(А\В) =Р(А). (3)
т.е. если наступление события В не изменяет вероятности события А*)
Если событие А независимо от В, то в силу (2) имеет место равенство
Р(А) Р(В I А) =Р(В) Р (4).
Отсюда находим, что
Р(В\А)=Р(В), (4)
т.е. что событие В также независимо от А. Таким образом, при сделанном предположении свойство независимости событий взаимно.
Если независимость событий А и В определить посредством равенства
Р(АВ) =Р(А) Р(В),
то это определение верно всегда, в том числе и тогда, когда Р(А) = 0 или Р(Я) = 0.
*) Понятия условной вероятности и независимости, а также формулировка теоремы умножения даны А.Муавром в 1718 г.
58
Гл. 1. Случайные события и их вероятности
Мы обобщим теперь понятие независимости двух событий на совокупность нескольких событий.
События Bi, В2, ¦ ¦ . , Bs называются независимыми в совокупности, если для любого события Вр из их числа и произвольных Bit, В, . . . , . . . , Bir(in Ф р) из их же числа события Вр и В{ В;2 ... Bif взаимно независимы.
В силу предыдущего это определение эквивалентно следующему: при любых 1 </[ < i2 < • • • < ir и r(l <s)
P(Bix Bi2 . . . Bir) = P(Bit) P{fih ) . . . ?(Bir).
Заметим, что для независимости в совокупности нескольких событий недостаточно их попарной независимости. В этом можно убедиться на следующем простом примере. Представим себе, что грани тетраэдра окрашены: 1-я в — красный цвет (А), 2-я — в зеленый (В), 3-я — в синий (С) и 4-я — во все эти три цвета (ABC). Легко видеть, что вероятность грани, на которую упадет тетраэдр при бросании, в своей окраске иметь красный цвет равна 1/2: граней четыре и две из них имеют в окраске красный цвет. Таким образом,
Р (А) =1/2.
Точно так же можно подсчитать, что
Р(В) = Р(С) = Р(А IВ) = Р(В\С) = Р(С1Л) =
= Р(Я1Л) = Р(С 15) = Р(А I С) = 1/2,
события А, В, С, таким образом, попарно независимы.
Однако если нам известно, что осуществились события В и С, то заведомо осуществилось и событие А, т.е.
Р(Л!ЯС)= 1.
Таким образом, события А, В, С в совокупности зависимы.
Формула (V), которая в случае классического определения была нами выведена из определения условной вероятности, в случае аксиоматического определения вероятности будет взята нами в качестве определения. Таким образом, в общем случае при Р(Л)>0 по определению
Р(АВ)
Р(в !Л) = ——1 .
Р 04)
(В случае Р(А) = 0 условная вероятность Р(В\А) остается неопределенной.) Это позволяет нам перенести автоматически на общее понятие вероятности все определения и результаты настоящего параграфа.
