Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Вп - 2 ВьВ ^ + 1 + П Вк.
к = п к = п
Так как события, стоящие в этой сумме, попарно несовместимы, то согласно расширенной аксиоме сложения
Р(Д„)= ? Р(Я*?к + 1) + Р( П Вк).
к = п к = п
Но в силу условия (3)
Р( П Вк) = о,
к = п
поэтому
Р(?„)= ? Р(ВкВк + 1),
к = п
т.е. Р (Вп) есть остаток сходящегося ряда
оо _
2 Р(ВкВк + 1) = Р(В1). к = 1
Поэтому Р (Вп) ->¦ 0 при п^°°.
54
Гл. 1. Случайные события и их вероятности
2. Из аксиомы непрерывности следует расширенная аксиома сложения. Пусть события А1, А2,. .. , А„,... попарно несовместимы и
А- А\ + А2 + . . . + Ап + . . ¦
Положим Вп- 2 Ак.
к - п
Ясно, что Bn + i С Вп. Если событие Вп наступило, то наступило какое-нибудь из событий Aj(i > п ) и, значит, в силу попарной несовместимости событий Ак, события Aj + i, А;+2,... уже не наступили. Таким образом события В,- + 1, В/+2 ¦ ¦. невозможны, и, следовательно, невозможно событие П Вк. По аксиоме непрерывности Р(В„) -> 0 при п Так как
к = п
A-Ai + А2 + . ..+ Ап+ Вп + 1, то по обычной аксиоме сложения
PG4) = РС4 0 + р(А2) + . .. + Р(Ап) + Р(Вп + 1) =
= lim 2 Р(4*)= 2 Р(Ак).
п -*¦ 00 к = 1 к ~ 1
Мы видим из сказанного, что аксиоматика Колмогорова позволяет строить теорию вероятностей как часть теории меры, а вероятность рас-матривать как неотрицательную нормированную аддитивную функцию множества.
Вероятностным пространством принято называть тройку символов (?2 , 3 , Р), где И — множество элементарных событий, Ъ — о-алгебра
подмножеств И , называемых случайными событиями и Р {А) — вероятность, определенная на ст-алгебра 3
§ 7. Условная вероятность
и простейшие основные формулы
Мы уже говорили, что в основе определения вероятности события лежит некоторая совокупность условий © ¦ Если никаких ограничений, кроме условий © , при вычислении вероятности Р (Л) не налагается, то такие вероятности называются безусловными.
Однако в ряде случаев приходится рассматривать вероятности событий при дополнительном условии, что произошло некоторое событие В. Такие вероятности мы будем называть условными и обозначать символом Р(А \В); это означает вероятность события А при условии, что событие В произошло. Строго говоря, безусловные вероятности также являются условными, так
§ 7. Условная вероятность и основные формулы
55
как исходным моментом построенной теории было предположение о существовании некоторого неизменного комплекса условий @
Пример 1. Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что сумма выпавших на них очков равна 8 (событие А), если известно, что эта сумма есть четное число (событие В) ?
Таблица 6
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(1.3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1.4) (2,4) (3,4) (4.4) (5,4) (6,4)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
Все возможные случаи, которые могут представиться при бросании двух костей, мы запишем в табл. 6, каждая клетка которой содержит запись возможного события: на первом месте в скобках указывается число очков, выпавших на первой кости, на втором месте — число очков, выпавших на второй кости.
Общее число возможных случаев — 36, благоприятствующих событию А — 5. Таким образом, безусловная вероятность Р(4) = 5/36. Если событие В произошло, то осуществилась одна из 18 (а не 36) возможностей и, следовательно, условная вероятность равна Р (A |fi) = 5/18.
Пример 2. Из колоды карт последовательно вынуты две карты. Найти а) безусловную вероятность того, что вторая карта окажется тузом (неизвестно, какая карта была вынута вначале) и б) условную вероятность, что вторая карта будет тузом, если первоначально был вынут туз.
Обозначим через А событие, состоящее в появлении туза на втором месте, а через В — событие, состоящее в появлении туза на первом месте. Ясно, что имеет место равенство
А-АВ+АВ.
В силу несовместимости событий АВ и АВ имеем:
Р(А)=Р(АВ)+Р(АВ).
56 Гл. 1. Случайные события и их вероятности
При вынимании двух карт из колоды в 36 карт могут произойти 36-35 (учитывая порядок!) случаев. Из них благоприятствующих событию АВ — 4 - 3 случаев, а событию АВ — 32 -4 случая. Таким образом,
4-3 32-4 1
Р (А) = ------ +---------= — .
36-35 36-35 9
Если первая карта есть туз, то в колоде осталось 35 карт и среди них только три туза. Следовательно,
Р(А 15) = 3/35.
Общее решение задачи нахождения условной вероятности для классического определения вероятности не представляет труда. В самом деле, пусть из п единственно возможных, несовместимых и равновероятных событий Аг, А2,.. . , А„
событию А благоприятствует т событий,
» В ” к
” АВ л г ”
