Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
ся (не имеют общих элементов)
А =В Множества АиВ равны События А и В равносильны
А С В А есть подмножество В Событие А влечет событие В
§ 6. Аксиоматическое построение теории 51
Теперь мы можем перейти к формулировке аксиом, определяющих вероятность.
Аксиома 1. Каждому случайному событию А поставлено в соответствие неотрицательное число Р (А), называемое его вероятностью.
Аксиома 2.Р(?2)=1.
Аксиома 3 (аксиома сложения). Если события A t, А 2,. ¦ ¦
..., А„ попарно несовместимы, то
Р(АХ +А2 + ...+Ап) =Р(А1)+Р(А2) + ... + Р(Ап).
Для классического определения вероятности свойства, выраженные аксиомами 2 и 3, не нужно было постулировать, так как эти свойства вероятности были нами доказаны.
Из сформулированных аксиом мы выведем несколько важных элементарных следствий.
Прежде всего, из очевидного равенства
?2 = ф + ?2 и аксиомы 3 мы заключаем, что
Р(П) =Р(0) + Р(П).
Таким образом,
1. Вероятность невозможного события равна нулю.
2. Для любого событиям!
Р(А ) = 1 -PG4).*)
3. Каково бы ни было случайное событие А,
0<Р(Л)< I.
4. Если отбытие А влечет за собой событие В, то
Р(А)<Р(В).
5. Пусть А и В — два произвольных события. Поскольку в суммах А + В = А + (В - АВ) и В = АВ + (В - АВ) слагаемые являются несовместимыми событиями, то в соответствии с аксиомой 3
Р(А + В) = Р(А) + Р(В - АВ)- Р(В) = Р(АВ) + Р(В - АВ).
Отсюда вытекает теорема сложения для произвольных событий А и В
Р(А + В) = Р(А) + Р(Д) - Р(АВ).
В силу неотрицательности Р (АВ) отсюда заключаем, что
Р(А +В)<Р(А) + Р(В).
*) Формулировка этого предложения имеется в трактате Я. Бернулли.
52
Гл. 1. Случайные события и их вероятности
По индукции теперь выводим, что если j4i , А2, ¦ ¦ ¦, А„ — произвольные события, то имеет место неравенство
Р{А, +А2 +...+А„) <P(.4i) + PG42) + . .. + Р(Ап).
Система аксиом Колмогорова непротиворечива, так как существуют реальные объекты, которые всем этим аксиомам удовлетворяют. Например, если за ?2 принять произвольное конечное множество с конечным числом элементов ?2 = {дь а2, . . ., ап} , за 5 — совокупность всех подмножеств (а,- , а,- , . . . , ais} , 0 <</2 <... </s <п, 0 <.* <п, то положив P(ai) = Pi, Р(а2) = р2, ¦ ¦ ¦ Р0П) =рп, где р1г р2, . . . ,рп - произвольные неотрицательные числа, удовлетворяющие равенству + р2 + ... ... + р„ = 1, a ?(aii,aii, . . . ,ais) = pij + . .. +pis, мы удовлетворим всем аксиомам Колмогорова.
Система аксиом Колмогорова неполна: даже дня одного и того же множества ?2 вероятности в множестве 5 мы можем выбирать различными способами.
Так, в рассмотренном нами примере с игральной костью мы можем положить или
Р(Е1)=Р(?а)=... = Р(Е6)=1/6 (1)
или
Р(Е1)=Р(Е2)=Р(Е3)=Ц4,
Р(?'4)=Р(/-5)=Р(?'6)= 1/12 (2)
И т.д.
Неполнота системы аксиом теории вероятностей не является свидетельством их неудачного выбора или недостаточной работы мысли при их создании, а вызвана существом дела: в различных задачах могут встретиться явления, при изучении которых требуется рассматривать одинаковые множества случайных событий, но с различными вероятностями. Например, могут встретиться игральные кости, из которых одна правильная (точный куб с одинаковой плотностью в каждой точке), другая неправильная. В первом случае система вероятностей будет задана системой равенств (1), а во втором, скажем, системой (2).
Дальнейшее развитие теории нуждается в дополнительном предположении, которое носит название расширенной аксиомы сложения. Необходимость введения новой аксиомы объясняется тем, что в теории вероятностей постоянно приходится рассматривать события, подразделяющиеся на бесконечное число частных случаев.
Расширенная аксиома сложения. Если событие А равносильно наступлению хотя бы одного из попарно несовместимых событий
§ 6. Аксиоматическое построение теории 53
А\,А2, - . . , А„, . . . ,ТО
PG4) = Р04,) + Р(А2) + ... + Р (Ля) + . . .
Заметим, что расширенная аксиома сложения может быть заменена равносильной ей аксиомой непрерывности.
Аксиома непрерывности. Если последовательность событий В1у В2, . . . , В„,. . . такова, что каждое последующее влечет за собой предыдущее и произведение всех событий Вп есть невозможное событие, то
Р(В„) ->¦ 0 при п -*¦ °°.
Докажем эквивалентность только что сформулированных предложений.
1. Из расширенной аксиомы сложения следует аксиома непрерывности. Действительно, пусть события Вг, В2, .. . ,Вп,. . . таковы, что
By Э В2 Э .. . Э Вп D . . . и при любом п > 1
п Вк=ф. (3)
к> п
Очевидно, что
оо _ оо