Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
то, приняв во внимание, что-в случае K0q имеет место неравенство h0q > |3, находим
Р(*,)М(*о\KS) > 2 P(K0q)fi = Р 2Р(Kpq) = 0Р(Ks). я
Отсюда, так как по предположению P(A^S) Ф 0, то
М(Ь1^)>/3.
*) Обратим внимание, что только в этом пункте мы использовали предположение
о стационарности.
§ 59. Эргодическая теорема Биркгофа - Хинчина 351
Так как Ks -+К, то М(?0 \К)>0.
Подобным же способом (если бы рассматривали особые сегменты относительно а) можно доказать, что
М(?0 \К)<а.
Мы пришли к противоречию. Отсюда вытекает, что Р(К) = 0, что и требовалось доказать.
Исследование того, чему равен предел, к которому стремятся величины hQn при п-+°°, требует предварительных рассуждений. Мы ограничимся здесь доказательством одного предложения на эту тему.
Теорема. Если случайные величины стационарны, имеют конечную дисперсию и корреляционная функция R(k)-+ 0 при к -> то
lim Р {/i0„->¦ а} = 1 (а =N1^).
п -*¦00
Доказательство. Рассмотрим дисперсию величины h0n. В силу стационарности имеем
1 " I2 Df
- 2 ($к-а)\ =[п + 2 Е R(/-i)].
L П к = 1 J П 1 <(•</<«
Dh0n = М Очевидно, что
П — 1
2 Л(/-0= 2 (n-k)R(k).
1 </<;< я к - 1
Рассмотрим столь большое т, что при к > т имеет место неравенство
I ВД|<е (е > 0).
Отсюда следует, что
Dt т л-1
<—y [п + 2 2 (п - k)R(k) + 2е 2 (п - fc)].
П к - 1 т + 1
Это неравенство, очевидно, усиливается следующим образом:
D?
Dh0n < —- [п + 2т(п - 1) + е(п - т - 1)(л - ш)]. п
Отсюда ясно, что если п достаточно велико, то правая часть этого неравенства может быть сделана меньше, чем Зе . Таким образом, при п -*¦00 величины h0n по вероятности сходятся к а, а так как h0„ сходятся при п -+°° с вероятностью единица, то отсюда следует утверждение теоремы.
352
Гл. 10. Теория стохастических процессов
Доказанная теорема представляет не только значительный теоретический интерес, но и находит широкие применения в статистической физике и непосредственной технической практике. Причина этого состоит в том, что для определения таких важных характеристик явления, какими являются M?(Y), Dв случае стационарных процессов не нужно знать распределения вероятностей возможных значений и вычислять зти величины по соответствующим формулам. Определение этих, как говорят в физике, пространственных средних требует от исследователя сведений, которых у него зачастую нет. И во всяком случае практическая оценка этих величин посредством эксперимента требует многократного осуществления испытаний для процесса ?(/) ¦ Эргодическая теорема Биркгофа — Хинчина показывает, что с вероятностью единица можно при этом ограничиться единственной реализацией процесса ?(0-
ГЛАВА 11
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ § 60. Основные задачи математической статистики
В теории вероятностей выводятся правила, которые позволяют по вероятностям одних случайных событий вычислять вероятности других, с ними связанных; по числовым характеристикам и функциям распределения одних случайных величин подсчитывать функции распределения и числовые характеристики других. Но естественно возникает вопрос: как найти эти исходные вероятности, функции распределения и числовые характеристики? Как оценить хотя бы приближенные их значения? Это является предметом исследования другой науки о массовых случайных явлениях, которая получила наименование математической статистики. Как наука с оформившейся тематикой и методами исследования математическая статистика возникла, в сущности, только в нашем двадцатом веке. Однако отдельные задачи возникали и рассматривались задолго до нашего времени — и в девятнадцатом, и в восемнадцатом и даже в семнадцатом веках.
Термин статистика происходит от латинского слова ’’статус” (status) — состояние. Первоначально, в XVIII веке, когда статистика начала оформляться в научную дисциплину, термин статистика связывался с системой описания фактов, характеризующих состояние государства. При этом даже не предполагалось, что ведению статистики подлежат только явления массового порядка. В настоящее время статистика включает в себя и большее и в то же время более определенное содержание. А именно, можно сказать, что статистика состоит из следующих трех разделов:
1) сбор статистических сведений, т.е. сведений, характеризующих отдельные единицы каких-либо массовых совокупностей;
2) статистическое исследование полученных данных, заключающееся в выяснении тех закономерностей, которые могут быть установлены на основе данных массового наблюдения;
3) разработка приемов статистического наблюдения и аналаза статистических данных. Последний раздел, собственное составляет содержание математической статистки.
