Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
242 Гл. 10. Теория стохастических процессов
Вид функции R (и) обеспечивает положительную определенность квадратичной формы, стоящей в показателе и-мерного нормального закона. Определенный таким образом нормальный случайный процесс стационарен и в узком и в широком смысле слова.
Доказанная теорема играет основную роль в теории стационарных процессов и в ее физических приложениях. За подробностями отсылаем к специальной литературе, для начала к литературе, приведенной в конце книги. П р и м е р 1. Пусть
?(f) = % cos Xf + tj sin Xf,
где ? и tj — некоррелированные *) случайные величины, для которых М? = = Mtj = О, D? = Dtj = 1, а X — постоянное. Так как
Д(И) = М$(Г+И)$(Г) =
= М[? cos X(f + и) +r> vn \(f + u)] • [? cos Xf + tj sin Xf ] =
= M[?2 cos Xf cos X(f + u) + ?Tj(sin X(f + и) cos Xf +
+ cos X(f + u) sin Xf) + tj2 sin Xf sin X(f + u) =
= cos \t cos X(f + u) + sin Xf sin X(f + u)= cos Хг/,
то процесс ?(f) стационарен в широком смысле. Для него в формуле (3) мы должны положить
[ 0 при х < — X,
F(x) = | 0,5 при — X < х < X,
[ 1 при х>\.
П р и м е р 2. Пусть
5(f) = 2 6* ?fc(f >» к - 1
п
где cosXfcf + цк sin X* f, Х^ — постоянные, 2 b\ - 1, случайные
к = 1
величины %к и г}к удовлетворяют следующим условиям:
M?fc = Mijfc = О, D?fc = Dtj*. = 1, (1<к<п),
Щ, 'к, = Мт)(т);- = 0 при г Ф /,
M^Tjy =0 при г, / = 1, 2, . . . , п.
*) Случайные величины % и tj называются некоррелированными, если М?п = ¦ Mr;.
§ 57. Стационарный процесс. Теорема Хинчина
343
Легко подсчитать, что корреляционная функция для ?(f) равна
п
R(u) = I i? cos \ки
к = 1
и что, следовательно, процесс является стационарным в широком смысле. Функция F(x) в формуле (3) растет только в точках и имеет в них скачки размера 0,5 b2к .
Случайные процессы, для которых F{x) растет только скачками, называются процессами с дискретным спектром.
Легко видеть, что всякий процесс вида
?(0= ? bk%k(t) (4)
k = I
оо
где 2 Ьк<°° и ?*(Г) сохраняют смысл, приданный им в примере 2,
к = 1
является стационарным в широком смысле и имеет дискретный спектр. Важно отметить, что Е.Е. Слуцкий обнаружил глубокое обратное предложение: всякий стационарный процесс с дискретным спектром представим в виде (4). Обобщение этой теоремы Слуцкого на случай произвольного спектра будет сформулировано в следующем параграфе.
Параллельно с развитием теории стационарных процессов развивалась теория стационарных последовательностей. Последовательность случайных величин
• • • > ?-2 > ?- i > ?о > ?i > ?г > • • •
называется стационарной в широком смысле, если для всех членов последовательности математические ожидания и дисперсии являются постоянными числами, не зависящими от места в последовательности
. . . = М?_2 = М?_! = М?0 = M?t = М?2 = . . . = а,
... = D?_2 = D?_, =D?0 =D?i =D?2 = .. , = a2,
а коэффициент корреляции между ?, и ?¦ является функцией только
U-/I. '
В качестве упражнения мы предлагаем читателю
1) вывести, используя результаты § 36, общий вид корреляционной функции для стационарной последовательности;
2) доказать теорему — если для стационарной последовательности lim i?(s) = 0,
S~* 00
344
Гл. 10. Теория стохастических процессов
где R(s) — коэффициент корреляции между ?(. и ?; + s, то для нее имеет место закон больших чисел, т.е. при п -> °°
каково бы ни было постоянное е > 0.
§ 58. Пошпие стохастического интеграла.
Спектральное разложение стационарных процессов
Для дальнейшего нам необходимо ввести понятие стохастического интеграла. Пусть в сегменте а < t < Ъ заданы случайный процесс ? (t) и числовая функция fit). Разобьем сегмент [а, b] точками а = t0 < < . . . < t„ = Ъ
и рассмотрим сумму
¦/„= ? тш(и-и_о. i = 1
Если при шах (?,— ?,•_ i)-»- 0 эта сумма стремится к некоторому
1 < i < п
пределу (представляющему собой, вообще говоря, случайную величину), то этот предел называется интегралом от случайного процесса ?(?) и обозначается символом
J =№)№*.
а
Несобственный интеграл (при а = — b = +°°) определяется обычным путем как предел собственных интегралов при д -»¦ — °° b
Сходимость интегральных сумм Jn мы будем понимать в следующем смысле: существует случайная величина J такая, что при п -»¦00
М(/„-У)2-0. (1)
Опираясь на известные теоремы теории функций действительного переменного легко доказать, что последовательность случайных величин Jn сходится к пределу J в смысле (1) тогда и только тогда, когда при min(m, и)-*00