Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
/ к к + 1 \
по абсолютной величине, большими, чем jc, за промежутки ( — ,---------)
\ п п }
изменения параметра т. Поскольку М{и) и N (м) являются пределами при п -> оо соответственно функций Мп (и) и Nn (и), то они получили название функций скачков.
Если М(и) = 0 (для и < 0) и N(u) = 0 (для и > 0), т.е. функции скачков отсутствуют, то из формулы ([2') видно, что в этом случае стохастический процесс управляется нормальным законом. Мы видим, что случайный процесс, управляемый нормальным законом, является непрерывным в смысле теории вероятностей. Мы докажем теперь более сильное утверждение .
Теорема. Для того чтобы однородный случайный процесс с независимыми приращениями и конечной дисперсией*) управлялся нормальным законом**), необходимо и достаточно, чтобы при произвольном е > 0 вероятность того, что максимальное значение абсолютной величины прира-
( к - 1 к \
щений ?(т) за промежутки 1 --------, — ) (к = 1, 2,. . . , п) превзойдет е,
\ п п /
стремилась к нулю вместе с 1 /п * * *).
Доказательство. Мы только что видели, что однородный случайный процесс с независимыми приращениями управляется нормальным законом тогда и только тогда, когда при jc > 0
М(—х) = Щх) = 0. (3)
Так как
М(и) - lim Мп(и) и N(u) = lim Nn(u),
П-и*> П~+°°
*) Теорема верна и без допущения конечности дисперсии.
**) В частности, нормальным законом с дисперисей 0, т.е. законом вида F(x) = О при х <а, F(x) =1 при х > а.
***) Таким образом, процессы,управляемые нормальным законом, и только они, являются ’’равномерно непрерывными” в смысле теории вероятностей.
338
Гл. 10. Теория стохастических процессов
то условие (3) равносильно следующему:
lim иФ„(-«) = lim и[1 — Ф„(м)] =0. (4)
И-ю© Л-*»
(к - 1 к \
Обозначим приращение ?(т) в интервале I --------, — I через ?„.fc; тогда
\ п п 1
Рпк = $«(-*) + 1 -Ф„(* + 0) = Р {| ?„fc !>Х}.
Очевидно, что соотношения (4) эквивалентны такому:
П
lim 2 рпк =0. и-*» fc=l
Из неравенств п
п п _ ? Рпк
1 - 2 Рпк < П (1 -Рпк)<е < 1,
fc=i fc=i
мы видим, что соотношения (4) равносильны утверждению, что
П
lim П (1 -р„к) = 1,
п-+°° к = 1
которое означает, что вероятность осуществления неравенств | %пк I < е при всех к( 1 < к < п) при п -+°° стремится к единице. Иначе говоря, мы доказали, что соотношения (3) имеют место тогда и только тогда, когда при
Р{ «пах | > е} -»¦ 0,
1 <к<п
что и требовалось доказать.
§ 57. Понятие стационарного случайного процесса.
Теорема Хинчина о корреляционной функции
Процессы марковского типа или, иначе, процессы без последействия, изученные нами в предыдущих параграфах, ни в какой мере не исчерпывают всех запросов естествознания к теории вероятностей. В самом деле, во многих случаях прошлые состояния системы оказывают весьма сильное влияние на вероятности ее будущих состояний, и пренебрегать этим воздействием прошлого нельзя даже при приближенной трактовке вопроса. Принципиально положение может быть исправлено изменением понятия состояния системы путем введения новых параметров. Так, например, если бы изменение положения частицы в явлениях диффузии или броуновского движения мы стали рассматривать как процесс без последействия,
§ 57. Стационарный процесс. Теорема Хинчина
339
то это означало бы, что мы при этом не принимаем в расчет инерцию частицы, которая, само собой разумеется, в этих явлениях играет существенную роль. Введение в понятие состояния помимо координат частицы ее скорости в приведенном примере исправило бы положение. Однако существуют случаи, когда такое исправление никакого облегчения при решении поставленных задач не дает. В первую очередь здесь следует указать на статистическую механику, в которой указание на положение точки в той или иной ячейке фазового пространства дает только вероятностное суждение о будущем ее состоянии. При этом ознакомление с предыдущими положениями точки существенно меняет наши суждения относительно ее будущего. В связи с этим А.Я. Хинчин выделил важный класс случайных процессов с последействием, так называемые стационарные процессы, однородно ведущие себя во времени.
Стохастический процесс % (?) называется стационарным, если распределения вероятностей для двух конечных групп переменных % (?i), % (t2 ) , . • • ...,?(?„) и ? (? 1 + и) > ? (?2 + и) , . ..,?(?„ + и) совпадают и, значит, не зависят от и. Числа лии,а также моменты времени ?[, t2 , ¦ ¦ ¦ , tn могут быть при этом выбраны совершенно произвольно.
