Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
С этой целью запишем следующее равенство:
Po(t, х, т) = p0(t, х, т + Ат) + p0(t, х, т) [1 - р0(т, х,т + Дт)], (4)
которое означает, что отсутствие изменений состояния системы в промежуток времени (г, т) может произойти двумя несовместимыми путями:
1) система не изменила состояния за больший промежуток времени (t, т + Ат), 2) система не меняла состояния до момента т, но в промежуток времени (т, т + Ат) состояние ее изменилось. Так как по определению чисто разрывного процесса
Ро(т, х, т + Ат) = 1 — р(т, х) Ат + о(Ат),
то уравнение (4) может быть записано иначе:
p0(t, х, т +Ат)- Po(t, х, т)
Ат
= -p0(t,x,T)p(T,x) + o(l).
§55. Чисто разрывный процесс
329
Эр0(АХ, т)
Отсюда, положив Ат ->-0, находим, что существует производная-------------------
ОТ
и что
Проинтегрировав это уравнение, находим
т
— / Р(и> *) du
Ро it, х, т) = Се f
Так как
Poir,x,r) = 1,
то С = 1 и
т
-/ р(ц, x)du
Poit, X, т) = е f
(5)
Теперь мы увидим, что, зная р0 it, х, т), а также функцию Pit, х, у), определенную раньше, мы можем подсчитать любую вероятность рп it, х, т). В самом деле, и-кратное изменение состояния происходит следующим образом: 1) до момента s it < s < т) система не меняет состояния (вероятность этого события равна р0 (t, х, s)), 2) в промежуток (s, s + As) система меняет состояние (вероятность этого равна pt (s, х, s + As) = p(s, х) As + + о(Дх))> 3) вероятность того, что новое состояние, в котором окажется система, будет заключаться между у и у + Д у, равна P(s, х, у + А у) —
— Pis, х, у) = Д yPis, х, у), 4) наконец, за время (s + As, т) система изменит свое состояние п — 1 раз (вероятность этого события равна рп-1 is +As,y, т)).
Вероятность того, что произойдут все четыре перечисленных события, в силу теоремы умножения, равна
Po(t,x, s) [pis, х) + oil)] As - AyPis, x,y) •p„_1(x + Дя, у, т).
Так как s и у могут быть произвольными (t < s < т и —< у < °°), то, в силу формулы полной вероятности,
Т
Pn(t,x,T) = ffp0(t,x, s)pis, х)рп_^,у, T)dyPis, x,y)ds = t
T
= f Poit, x,s)pis, x) fpn-i(s,y, t) dyPis, x, y) ds.
(6)
t
330
Гл. 10. Теория стохастических процессов
Отсюда, в частности,
т
P\(J, X, т) = / p0(t, х, s)p(s, х) fp0(s,y, T)dyP(s, х, у)ds.
(?)
t
Процесс определения pn(t, х, т) очевиден: по формуле (5) находим Ро (?, х, г), по формуле (7) вычисляем р^ (?, х, г) и затем последовательно р2 (t,x, т),р3 (t,x, т) и, наконец,p„(t,x, г).
Пример 1. Пусть интересующая нас величина ? (?) есть число изменений состояния за время от 0 до t. В предположении р (t, х) = а, где а > >0 - постоянное,найтиpn(t,x, г).
Возможными состояниями системы будут в нашем случае все неотрицательные целые числа (jc = 0, 1, 2,...) и только они. Так как при каждом изменении состояния величина ? (?) увеличивается ровно на 1, то
По формуле (5) имеем: p0(t,x, r) = e-a(T~f). Согласно (7)
Т
Pi&x.r) =. f p0(t,x,s)p(s, x)p0(s, X +1,7-)ds =
t
T
= a fe-(s-,)ae-(т~*а ds= а(т - t) e~ <T~f\
t
По формуле (7)
т
p2(?, х,т) = f Po(t, X, s)p(s, x)pl(s,x+ I, r)ds-
2!
Предположим теперь, что
S 55. Чисто разрывный процесс 331
По формуле (7)
т
pn(t,x,.T)= / Po(t,x, s)p(s, x)pn_i(s, x + l,r)ds =
t
, ; ds__ 1Ф-or, e_.(r.„
; (n -n> n!
Этим доказано, что при любом целом п> О п\
Решением нашей задачи является, таким образом, закон Пуассона. В частности,
(а г)"
рл(0,0,т) = V—- <Г".
п\
Легко сообразить, что функция
10 при у < 0,
^ WT-')]"
2 е 1 ’при _у>0
п<у п\
является решением интегродифференциальных уравнений (2) и (3).
Пример 2. В момент t = 0 имеется TV радиоактивных атомов. Вероятность распада атома в промежуток времени (t, t + Дг) равна aN {t)At + + о (Дt), где а > 0 — постоянное, aN (t) — число атомов, не распавшихся до момента t. Найти вероятность того, что за время от t до т произойдет п распадов*).
Мы имеем типичный чисто разрывный случайный процесс. Величина ?(/), понятно, может принимать только значения 0, 1, 2, . . . , N (t).
По условию задачи
[ 0 при х < 0 и x>N,
a(N - х) при 0 < х <7V,
а
(0 при у < х, P(t,x, у)=\
