Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
1 т
lim — / $(t)dt.
г - ” Г о
Стационарность процесса предположена здесь в узком, а не в широком смысле этого слова.
Так как это предложение представляет собой своеобразную форму усиленного закона больших чисел, то мы докажем ее с целью непосредственного продолжения формулировок главы 6 не для. процессов, а для стационарных последовательностей.
Теорема. Для стационарной последовательности случайных величин
1 , !о , ?i > • • •,
для которых М?у конечно, последовательность средних арифметических
1 п
- * ь
п i = 1
с вероятностью единица сходится к пределу.
Доказательство. Введем обозначение
Нам требуется показать, что с вероятностью единица величины hob при b -* оо стремятся к пределу. Обозначим случайное событие, состоящее в существовании этого предела, буквой К. Нам нужно доказать, что Р(А) = 1 или, что то же самое, Р(Х ) =0.
Предположим обратное, что событие К (т.е. что величины hob при b не сходятся к пределу) имеет положительную вероятность и покажем, что это предположение приводит к противоречию.
С этой целью рассмотрим все сегменты (а„, (3„) с рациональными концами Множество всех таких сегментов счетно. Если lim hob не
Ь —* оо
существует, то найдется такой сегмент (а„,|3„), для которого lim sup hob >
b —> оо
> Pn и limsup/!ob <a:„ (событие Kn ). Таким образом, событие К распада-
; 59. Эргодическая теорема Биркгофа - Хинчина
349
ется на счетное множество несовместимых случаев Кп. Так как по предположению Р(К)> 0, то найдется такое п, что Р(А„) > 0.
Таким образом доказано, что если Р(А)> 0, то существуют два числа а и Р( а < Р), для которых одновременно выполняются неравенства
lim sup > j3,1 lim inf hob < a. I
Предположим теперь, что все ?. приняли какие-то определенные значения. Если сегмент (а, Ь) таков, что hab > /3, но при всех Ъ', для которых а < Ъ' <b, hab' < Р, то этот сегмент назовем особым (относительно р).
Легко обнаружить, что два особых сегмента не перекрываются. Действительно, если два особых сегмента (а, Ь) и (altbi) таковы, что а < а1 < < b < b 1, то из равенства
_ (*i ~а) haai +(b-ai )haib 1
о-а
и неравенства hab > р вытекает, что или haa^ > р или h0i ь > Р- Однако первое из этих неравенств невозможно, так как сегмент (а, Ъ) особый, а второе неравенство так же невозможно, поскольку сегмент («i, Ъ\) особый.
Разность Ъ- а назовем рангом сегмента (а, Ь). Если сегмент (а. Ь) является особым, имеет ранг на превышающий s и не заключен ни в одном сегменте ранга, не превышающего s, то такой сегмент назовем s-особым.
Так как среди особых сегментов, заключающих в себе произвольный сегмент (а, Р) ранга, не превышающего s,h имеющих также ранг не больший s, должен найтись хотя бы один наибольшей длины. Если бы таких сегментов нашлось два, то они перекрывались бы, что по ранее доказанному невозможно. Таким образом, каждый особый сегмент ранга не большего s, может находиться внутри только одного s -особого (или же совпадать с ним). Из определения следует, что два s-особых сегмента могут лежать только один вне другого.
Обозначим через Ks событие, состоящее в том, что выполнены неравенства (1) и, кроме того, существует такое что hot>p. Так как К
является пределом для событий Ks, то
Р(А)= lim P(?s).
s~* оо
Отсюда следует, что для всех достаточно больших s имеет место неравенство P(AS)> 0. Далее мы ограничиваемся рассмотрением только таких значений s.
350 Гл. 10. Теория стохастических процессов
Пусть событие Ks имеет место. Тогда среди тех t < s, для которых hot > существует наименьшее t'. Сегмент (0, t’) — особый. Следовательно он заключен в некотором i-особом сегменте (а, Ь) (или же сам является таковым), для которого д<0<й. Верно и обратное: если существует s-особый сегмент (а, Ь), для которого а<0<Ь, то существует такое t что h0t > р. Для а = 0 это очевидно: достаточно положить t = Ъ. Если же а < 0, то из равенства
- aha0 +bh0b
Кь =---------------
Ъ - а
и неравенств hab> р, ha0 < |3 вытекает hob>fi. Таким образом, и в этом случае можно положить t = Ъ.
Обозначим —а через р, Ъ — а через q. Так как s-особый сегмент (~р, —р + q) может существовать только один, то событиеKs разбивается на несовместимые случаи Kpq, соответствующие наличию s-особых сегментов (—р, —p + q):
KS = 2 Kpq (<7 = 1, 2, . . . ,S, р = 0, 1,-<7-1).
Р, я
Замена нумерации последовательности i’ - i + р переводит случай КQq в случай Kpq. Поэтому в силу стационарности*) Р(К q) = P(K0q) и М(Ы^<7) = М(Ь1^о<7)-Так как
р(*,)м(ы*,)= ? рСАГрч)м(5о I а:рч) =
р,я
= 2?{K0q) 2 М« |K0q) = 2P(K0q)M(h0q\K0q), яр я
