Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
М(/т~/„)2-0. (2)
На доказательстве этого факта мы останавливаться не станем.
Т е о р е м а 1. Для существования интеграла
§ 58. Спектральное разложение 345
достаточно, чтобы существовал интеграл A = J J R(t - s)f(t)f(s)ds dt.
a a
При этом
A=M[Jf(tMt)dt]2.
a
Доказательство. Действительно, для доказательства первой половины теоремы достаточно обнаружить, что если существует интеграл А, то имеет место соотношение (2). Имеем
i = 1
пт т
-2М 2 2 /(г.О/^ЖШ^ДОД^ + М! 2 /(s,)?(s,) Дя;]2 =
г = 1 / = 1 / = 1
= 2 I f(ti)f(тk)R(ti-тk)AtiAтk-i = \ к = 1
п m
-2 2 2 f(Ji) f(sj)R(tj- sf) AtjAsj +
i = i / = i
m m
+ 2 2 f(sf)f(ok)R(Sj - ok)dSjAak.
j = 1 к = 1
Здесь численные значения tt и т,-, s- и а; совпадают.
В силу предположения о существовании интеграла А,
А = lim 2 2 f(tk)f(Ti)R(tk-Ti)AtjATk = к = 1 / = 1
n m
= lim 2 2 f(tDf(Sj)R(tj - Sj)Atf Asf =
I = 1 / = 1 m m
~ lim 2 2 ак)Дзу Дак,
/ = 1 fc = 1
если только max (Д?,, Д^) 0. Таким образом, при min(/?2,
м(/,и -Л,)2^о.
346 Гл. 10. Теория стохастических процессов
Для доказательства второй части теоремы заметим, что
М[ 2 /(ггЖг,)Дг,]2 =М 2 2 Ат, =
i = 1 / = li = 1
= 22 /Гг/)/(г/) Л (г, -т^М.Ат,; j = 11 = i
при max Д0 последняя часть равенств стремится кЛ.
Наряду с только что введенным понятием стохастического интеграла можно рассматривать также стохастический интеграл Стилтьеса, который мы определим как предел сумм
2 /(/fc)[?(?fc) — Wk-l )] (3)
k = 1
при тах(/,- - ?,_!)->• 0. Здесь по-прежнему я = r0 <f, <. . . < tn = Ъ и предел понимается в смысле (1). Если предел сумм (3) существует, то мы станем обозначать его символом
m)dm-
а
В конце предыдущего параграфа мы сформулировали теорему Слуцкого, выясняющую связь между стационарными процессами с дискретным спектром и рядами Фурье со случайными некоррелированными коэффициентами. Можно доказать, что для каждого стационарного в широком смысле процесса имеет место следующее свойство: каковы бы ни были е> 0 и (сколь угодно большое) Г, существуют такие попарно некоррелированные случайные величины %и.,т)к (1 <п) и такие вещественные числа Хк (1 < к < п) ), что при любом t из сегмента-Г< t К Г выполняется неравенство
П
м Ш) - 2 cos М + 7h sin хк 0]2 < е-
к = 1
Отсюда, в частности, следует, что в указанных условиях
п
Р (I W) ~ 2 (?* cos Xkt + r,k sin Xk r)>7?} <e/7?2 к — 1
где г) — наперед заданное положительное число.
*) Числа п и Хк, а также величины Кк и rjk не зависят от е и Т.
§ 5Х. Спектральное разложение 347
Приведем без доказательства следующую важную теорему.
Теорема 2. Всякий стационарный в широком смысле случайный процесс представим в виде
оо оо
?(?) = / cos\tdZx(X) + / sin XfdZ2(X), (4)
о о
где случайные процессы Z 1(Х) и Z2(X) обладают следующими свойствами:
а) M[Z,(X! + ДХО- Z^XO] ¦ [Z/-(X/+ ДХа)- Z,-(Xa)] =0,
7/= 1,2.
если i Ф j и для неперекрывающихся отрезков + A\i), (Х2,Х2 +ДХ2)
также при i=j\
б) m[z1(x + дх) -z^x)]2 =m[z2(x +дх)-г2(х)]2.
Формулу (4) естественно называть спектральным разложением процесса
W)-
Случайные процессы Z^X) и Z2(X) формулы (4) могут быть определены посредством равенств
1 т — sin Xt
Z,(X)= lim — / ---------W)dt
т —* °o 2я _ у г
и
1 г 1 - cos Xt Za(X)= lim — / ---------i(0*-
у-» oo 2я _ у t
Легко доказать, что оба указанных интеграла существуют; можно также по казать, что
F(X + ДX) - F(X) = М [Zj (X + ДХ) - Z, (X)]2,
где F(X ) определена теоремой Хинчина.
Возможность разложения (4) дня произвольного стационарного в широком смысле случайного процесса была указана в 1940 г. А.Н. Колмогоровым. Этот результат им формулировался в терминах геометрии гильбертов-ских пространств и доказывался посредством спектральной теории операторов. Теоретико-вероятностному истолкованию и выводу этого разложения были посвящены впоследствии работы многих авторов — Г. Крамера. К. Карунена, М. Лоэва, Бланк-Лапьера и др.
348
Гл. 10. Теория стохастических процессов
§ 59. Эргодическая теорема Биркгофа — Хинчина
В 1931 г. американский математик Георг Биркгоф доказал одну общую теорему механики, которая, как показал через три года А.Я. Хинчин, допускает широкое теоретико-вероятностное обобщение. Эта теорема состоит в следующем: если непрерывный стационарный процесс ?(f) имеет конечное математическое ожидание, то с вероятностью единица существует предел
