Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
- К стационарным процессам приводит, например, изучение ряда акустических явлений, в том числе встречающихся в радиотехнике (случайные шумы), а также разыскание скрытых периодичностей, интересующее астрономов, геофизиков и метеорологов.
Часто в установившемся технологическом процессе легко подметить явления, протекающие по схеме стационарных процессов. Для примера рассмотрим процесс прядения. Значительная неоднородность свойств прядильных материалов (длина волокон, их крепость, величина поперечного сечения и пр.) , колебания в скорости и равномерности подачи продукта на машинах в различные этапы процесса прядения и многие другие причины приводят к тому, что свойства пряжи меняются от одного сечения к другому. При этом оказывается, что знание того или иного свойства пряжи в какой-либо одной части мотка не дает нам полного знания ее свойств в другой его части. Но поскольку процесс прядения можно считать установившимся, постольку вероятностные характеристики качества пряжи представляют собой стационарный процесс.
Понятно, что любая числовая характеристика стационарного процесса ? (?) не зависит от момента t и, например, если ?(?) имеет конечную дисперсию, то, очевидно, имеют место следующие равенства:
М|(/+м) = М|(г)=М?(0) = а,
D?(/+M)=D?(/)=D?(0) = a\
М {?(r + w)?(0} = M{|(W) |(0)} .
Это обстоятельство позволяет без ограничения общности дальнейших ре-
340 Гл. 10. Теория стохастических процессов
зулиатов считать а = 0 и а = 1 (для этого, очевидно, достаточно вместо
$(0--в
% (t) рассматривать отношение----------
а
Мы ограничимся здесь только изучением важнейшей числовой характеристики \ (t) — ее корр&гяционной функции, т.е. коэффициента корреляции между величинами ? (?) и ? (t + и)
М[|(/ + и)-М|(г + и)] Ш -МЯО]
Я(«) =--------------------—----------------•
VD5(/)-D|(f + u)
В силу сделанного предположения о том, что а = 0 и а = 1, выражение для R (и) принимает более простой вид
R(u) = М{$(ы)6(0)}.
Мы назовем стационарный процесс непрерывным, если
lim R(u) = 1.
о
В случае непрерывного стационарного процесса R(u) есть непрерывная функция от и. Действительно,
|Л(и +Ди)-Л(и)| = |М{|(и+Ди)|(0)} -М{|(м)|(0)}| =
= |МЦ(0)[|(ы + Ды)-*(и)]}|.
Но в силу неравенства Коши-Буняковского
I М (|(0) [|(м + Аи) |(м)]} | < у/ М|2(0) • М[|(ы + Аи) - |(м)] 2 .
А так как М|2(0) = 1
И
М[|(м+ Аи)-%(и)]2 = 2[1-Я(Дк)], то окончательно
\R(u+Au)-R(u)\ < \/20 — R(Au)).
Это неравенство доказывает наше утверждение.
В теореме, которая сейчас будет доказана, стационарность процесса ? (?) можно понимать в следующем более широком смысле: процесс ?(/“) стационарен в широком смысле, если .математическое ожидание и дисперсия % (t ) не зависят от г, а коэффициент корреляции между %(t i) и %{t2) является функцией только I / 2 — ^ i I -
Теорема Хинчина. Для того чтобы функция R (и) представляла корреляционную функцию некоторого непрерывного стационарного про-
§57. Стационарный процесс. Теорема Хинчина
341
цесса, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде R(u) = f cos их dF(x) , (1)
где F (х) - некоторая функция распределения.
Доказательство. Условие теоремы необходимо. В самом деле, если R (и) есть корреляционная функция непрерывного стационарного процесса, то она непрерывна и ограничена. Докажем, кроме того, что она положительно-определенна. Действительно, каковы бы ни были действительные числа их, и2, . . . , и„ , комплексные числа г) t, т]2, . - ., Vn и целое число и, имеет место следующее соотношение:
п п п
0< Ml 2 цк^к)\2 =м { 2 2 nrnj $(м,-) €(«/)} =
k= 1 г=1 /'= 1
п п
= 2 ? R(u: uf) Vi Vj-
/= 1 i— 1
В силу теоремы Бохнера—Хинчина ( § 36) отсюда следует, что R (и) может быть представлена в виде
R(u) = feiux dF(x).
где F(jc) — неубывающая функция с ограниченным изменением. В силу вещественности функции R (и) отсюда получаем:
R{u) = /'cos их IdF(x) .
Наконец, приняв во внимание условие непрерывности процесса:
Л(+0) = 1,
находим, что F(+°°) — F(—°°) = 1, т.е. что F(x) есть некоторая функция распределения.
Условие достаточно. Нам дано, что R (и) есть функция вида (1) . Требуется доказать, что существует стационарный процесс ?(?)> имеющий своей корреляционной функцией функцию R(u). С этой целью для каждого целого п и каждой группы действительных чисел t iy t2, . . . , / п рассматриваем w-мерный вектор % (t,), % (t2) , . . . , % (tn) , распределенный нормально и обладающий свойствами
М*(/,) =М?(г2)= ... =м?(/„) = 0,
D^,) = D^)=... =ОШп) = К
при любых ; и / коэффициент корреляции между ?(/,-) и ?(/,) равен R(ti -tj), т.е.
М?(/,.) $(/,•) = R(t, - tj) .