Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
- —-T-^r[b(T,y)f(t,x;T,y)\\R{y)dy = 0. (9)
2 Ъу* )
Так как функция R (у) произвольна, то из последнего тождества
вытекает (6). Действительно, предположим, что это не так. Тогда существует такая четверка чисел (t, х; т, у), при которой выражение, стоящее в (9) в фигурных скобках, отлично от нуля. В силу сделан-
ных предположений это выражение представляет собой непрерывную функцию; следовательно, найдется интервал а < у К (3, где оно сохраняет знак. Если а < а и ,Ь > /3, то мы полагаем R(y) = 0 при
у а и у > $ и R (у) > 0 при а < у < (3. При таком выборе R (у)
интеграл, стоящий в левой части равенства (9) должен быть отличен от нуля. Мы пришли к противоречию. Таким образом, сделанное нами предположение ошибочно и, следовательно, из (9) вытекает (6).
Естественно, что основная задача, которую приходится решать, состоит не в проверке того, что данная функция f(t, х; т, у) удовлетворяет уравнениям Колмогорова, а в разыскании неизвестной функции f(t,x; г, у) по этим уравнениям, в которых коэффициенты a(t,x) и b(t,x) предполагаются известными. При этом, конечно, разыскивается не какое-нибудь решение уравнений Колмогорова, а лишь те из
324 Гл. 10. Теория стохастических процессов
них, которые удовлетворяют следующим требованиям:
1. fit, х; т, у) = 0 при всех t,x,T,y.
2. / f(t, х; т, у) dy = 1 и при любом 5 > 0
3. lim / f(t, х; т, у) dy ~ 0.
т -* t \у -х\> 8
(10)
Мы не будем останавливаться на выяснении тех условий, которые нужно наложить на функции a(t,x) и b(t,x), чтобы существовало решение уравнений Колмогорова, удовлетворяющее перечисленным требованиями было бы при этом единственным.
Мы несколько усилим требование непрерывности с тем, чтобы выяснить физический смысл коэффициентов a(t,x) и b{t, х). Именно, предположим вместо (1), что при любом 5 > 0 имеет место соотношение
lim — / {у -х)2 dyF(t - At, x;t,y) = 0. (l')
д t-* о At I y-x \> 8
Легко видеть, что из (l') следует (1). Требования 2 и 3 могут быть теперь записаны иначе, а именно,
1
lim -----/ (.у — х) dy F(t — At, х; t,y) = a (t, x) (2')
д t -* о At
1
lim ----- f (У - x) dyF(t - At, x; t, y) - b(t, x). (3')
At-* о At
Остальные требования, а также окончательные выводы от замены (1) на (1;) не изменяются. Так как
f(y - х) dyF(t - At, x;t,y) = М [?(r) - ?(r - Дг)]
является математическим ожиданием изменения ? (t) за время At, а
f(y - xfdyF(t - At, x;t, у) = M[?(r) - $(Г - Дг)]2
есть математическое ожидание квадрата изменения ?(f) и, следовательно, пропорционально кинетической энергии (в предположении, что ?(f) есть координата движущейся под влиянием случайных воздействий точки), то из (27) и (3') ясно, что a(t, лг) есть средняя скорость изменения ? (t) , a b(t,x) пропорционально средней кинетической .энергии изучаемой нами системы.
Мы заключим этот параграф рассмотрением частного случая уравнений Колмогорова, когда функция f(t, х; т, у) зависит от t, т и
§ 54. Непрерывный случайный процесс
325
у—х, но не от самих х и у. Физически это означает, что процесс протекает однородно в пространстве: вероятность получить прира-
щение Д = у — х не зависит от того, в каком положении jc находилась система в момент времени t. Очевидно, что в этом случае функции a(t, jc) и b(t, .v) не зависят от х, а являются функциями только одного аргумента t\
a(t)-a(t,x); b(t)-b(t,x).
Уравнения Колмогорова в рассматриваемом нами случае переписываются в таком виде:
Рассмотрим сначала частный случай, когда a(t) = 0 и b(t) = 1. Уравнения (11) при зтом превращаются в уравнение теплопроводности
Из общей теории уравнения теплопроводности известно, что единственное решение этих уравнений, удовлетворяющее условиям (10), дается функцией
(И)
Э т
д/ 1 Э2/
дт 2 д у2
и ему сопряженное
(12)
Э/ 1 Э2/
dt 2 дх2
fit, х; т, у) = ——----------------
\/2тт(т - t)
1
_ iy ~ х) е 2(т - f)
Заменой переменных
t
т
х'-х- / a(z)dz, у -у- / b(z)dz,
а
а
t т
t' - f b(z)dz, т' = fb(z)dz
а а
уравнения (11) сводятся к уравнениям (12). Это дает возможность
