Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
3) существует плотность распределения вероятностей
dF(t, х; т, у)
М.х;т,у)=
эу
4) существуют непрерывные производные
Э/ (f, х; т, у) д д2
------г----- . — [a(j,y)f(f,x;T,y)], —у [b(T,y)f(t,x;T,y)].
ат 3у оу
Второе уравнение Колмогорова*). Если выполнены ус-условия 1) —4), то для непрерывного случайного процесса без последействия плотность / (г, х; т, у) удовлетворяет уравнению
3/ (t, х; т, у) д 1 Э2
------ ----- = - — [а(т,у)/(г, х; т, ^)] + — —[Ь(т, у)/(г, х; т,у)].
от ду 2 ду
(6)
Доказательство. Пусть а и Ь(а< Ь) — некоторые числа и R (у) — неотрицательная непрерывная функция, имеющая непрерывные производные до второго порядка включительно. Кроме того, мы потребуем, чтобы
R (у) = 0 при у < а и у > Ь.
*) Второе уравнение Колмогорова было получено раньше физиками Фоккером и Планком в связи с развитием теории диффузии.
§ 54. Непрерывный случайный процесс 321
Из условия непрерывности функции R (у) и ее производных заключаем, что
R (а) = R (Ь) = R '(а) = R '(b) = R "(а) = R"(b) =0. (7)
Заметим прежде всего, что
ь bf(t, х; т,у) д ь
/-------------- R(y)dy- -— ] f(t,x;%y)R(y)dy =
а ОТ ОТ а
f(t,x;r + AT,y)-f(t,x;T,y)
= lim /----------------------------------- R (jy) dy.
Дг-> о Ат
Согласно обобщенному уравнению Маркова
f(t, х; т + Ат, у) = f f(t, х; т, z) f(r, z; т + А т, у) dx, поэтому
Ъ bf(t,x; т, у)
S-----------------R(y) dy -
а ОТ
1
lim —— [JJf(t, х;т, z)/(t,z;t + Ат, у) R(y) dzdy -
a r -*¦ o At
- f f(t,x;T,y)R(y)dy] =
1
= lim — [ f f(t, x, t, z) f f(r, z; т + At, y)R(y)dy dz-At —o At
- ff(t,x;T,y)R(y)dy] =
= lim ------- / f(t, x; т,у) f / /(т, у; т + Ат, z) R (z) dz - R (7)] dy.
a r-+ 0 At
Произведенные преобразования очевидны: первый раз мы поменяли порядок интегрирования, а второй раз изменили обозначения переменных интегрирования (у на z, a z на у).
По формуле Тейлора
R (z) = R (у) + (г - y)R '(у) + (z - yf R"(y) + o[(z - ^)2 ].
Так как в силу ограниченности функции R (z) и условия (1)
/ f(r, у; т + Ат, z)R(z) dz = о(Ат)
I у— Z I > 6
11.Б.В. Гнеденко
322
Гл. 10. Теория стохастических процессов
/ f(j, у;т + Ат, z)dz = 1 + о(Ат),
I у - Z ] < 6
ТО
ff(7,y;T + At,z)R (z)dz -R(y)~
= R'(y) / (z-y)f(j,y;T + At, z)dz +
\ у — Z \ < b
+ —R "(y) I [(z - y)2 +o(z - у)2 ]/(т, у; т + At, z)dz+o(At).
2 \y - zl< 6
Таким образом, b Э/(f, x; t, y)
a 07
= lim / / (f, x; r, 7) | '(У) f (z-y)f(T,y;T + AT,z)dz +
A T -+ 0 I I y — z l<6
+ — R”(y) I [(z - y)2 +o(z — y)2 ] X
2 \y-z l<6
X f(r, ут + A t, z) dz + о ( Дт) j dy.
Перейдем к пределу, положив Ат -* 0. В силу предположения о равномерной сходимости к пределам в (2) и (3), заключаем, что предыдущее равенство может быть записано в виде
* bf(t,x; т,у)
/— ¦¦ *00 dy-
а ОТ
= / f(t,x; т, у) а(т, y)R'(y) + — Ь (т, у) R"(у) dy.
Так как R'(у) = R" (у) = 0 для.у <д и у > Ъ, то
* Э/(t, х; т, у)
R{y)dy -
Ът
= / У(г, х; г, у)
1
а(т, y)R (7) +—b(r,y)R (7)
2
dy.
(8)
Воспользовавшись формулой интегрирования по частям и равенст-
§ 54. Непрерывный случайный процесс
323
вами (7), находим, что
ь ь э
/ / (t, х; т, у) а(т, у) R '(y)dy = — jR(y) — [а(т, y)f (t, х; т, у)] dy, а а ду
ъ Ъ э2
S f(t,x;r,y)b(T,y)R”(y)dy= / R(y)—^ [Ь(т, у) f(t, х; т, у)] dy.
а а ду
В результате подстановки полученных выражений в (8) получаем:
ъ Ъf{t, х; т, у)
S \......... R(y)dy =
а дт
= / (- ИT,y)f(t,x;T,y)] + а { ду
1 Э2 1
+ — [ь (г, У) f (t, х; T,y)\]^R (у) dy.
Это равенство может быть записано, очевидно, в таком виде: ъ ( дf(t, х; т, у) д
/)-------------- +——[a(T,y)f(t,x;r,y)] -
а К ОТ 0у
1 э2 1
