Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
11 при у > X.
*) Мы предполагаем при этом, что продукты распада атома сами уже не распадаются и во всяком случае не воздействуют на еще нераспавшиеся атомы.
332 Гл. 10. Теория стохастических процессов
Оценим прежде всего вероятность того, что за время от 0 до t произойдет п распадов.
По формуле С5)
- Jp(f, 0)dt Ро(0, 0, т) = е 0 = е~а1Чт.
Точно так же р0(/,*т) =
Далее, по формуле (7)
Г
Pi(0,0,t) = / Ро(0, 0, s) p(s, 0)ро (s, 1 ,T)ds =
о
г
= f e-aNsaNe-a(N-l'><T-s'>ds =
О
г
= Ne~aNT f aea(T-s)ds = Ne~aNT[eaT - 1]. (8)
0
По формуле (7) легко последовательно найти р2 (0, 0, г), р3 (0, 0, г) и т.д. и доказать, что
¦Р„(0,0,т) = С" e~aNT [еат - 1]". (9)
Это мы предоставляем читателю.
Очевидно, что при 0 <Ж— к имеет место равенство
P„(t,kyT)= С?_к [ев(т-г)__1]И (9-}
Теперь мы можем перейти к определению интересующей нас вероятности, которую мы обозначим через р„(?,т). По формуле полной веро-
ятности, используя затем (9) и (9’ ), находим, что
Рп(*. т) =N^n рк(0,0, t) • pn(t, к, т) = к= 0
7V — п
= ? CkNe~aNt [eat-l]k C?_ke-a(N-kHT-t'>lea(T~t'>-1]п =
Аг = 0
N-n
= e~aNr [ea<T-f) - 1]” ? СкС%_кеак(т-^ [eat - l]k.
k~ О
Так как
к s-ifi _ f~tn (~<к
N ^ N — к ^ N-n
§ 56. Процессы с независимыми приращениями
333
И
N — п
то окончательно
Pn(t, Г) = CnN[e~at - е~аг]" [е~ат + еа(-т-f) - g-ef ]
at 1 W —и
Легко понять, что функция
О
при у < X, при у < N - х, при y>N - х
F(t,x; т,у)= 2 p„(t,x,T)
п<у
1
является решением интегродифференциальных уравнений (2) и (3).
§ 56. Однородные случайные процессы
с независимыми приращениями
Мы рассмотрим теперь важный класс случайных процессов, полная характеристика которых будет дана в терминах характеристических функций.
Под однородным случайным процессом с независимыми приращениями понимается совокупность случайных величин | (/), зависящих от одного действительного параметра t и удовлетворяющих двум следующим условиям:
1) функция распределения величины % (t + ?0) — ? (to) не зависит от Г0 (однородность процесса по времени) ;
2) для любых неперекрывающихся промежутков (а, Ь) параметра t приращения величины ? (t) , т.е. разности ? (й) — | (д) взаимно независимы (независимость приращений).
Прежде чем переходить к получению конкретных результатов, мы рассмотрим несколько примеров. В этих примерах условия, о которых только что шла речь, могут быть приняты в качестве рабочей гипотезы. Естественно, что их допустимость оправдывается только согласием выводов с опытом.
Пример 1. Диффузия газов. Рассмотрим молекулу некоторого газа, движущуюся среди других молекул того же газа при условиях постоянных температуры и плотности. Введем в пространстве декартовы координаты и станем следить, как изменяется с течением времени одна из координат избранной молекулы, скажем, координатах.
Вследствие случайных столкновений данной молекулы с другими молекулами эта координата будет изменяться во времени, получая случайные
334
Гл. 10. Теория стохастических процессов
приращения. Требование постоянства условий, в которых находится газ, очевидно, означает собой однородность изучаемого процесса во времени. Ввиду большого числа движущихся молекул и слабой зависимости их движения процесс оказывается с независимыми приращениями.
Пример 2. Скорости молекул. Рассмотрим снова молекулу некоторого газа, движущуюся в объеме, наполненном молекулами того или иного газа постоянной плотности и температуры. Отнесем снова все пространство к декартовым осям координат и будем следить, как изменяется со временем компонента скорости по одной из осей координат. В своем движении молекула будет подвергаться случайным столкновениям с другими молекулами. Вследствие этих столкновений компонента скорости будет получать случайные приращения. Мы снова имеем однородный случайный процесс с независимыми приращениями.
Пример 3. Радиоактивный распад. Известно, что радиоактивность вещества состоит в том, что его атомы превращаются в атомы другого вещества, выделяя при этом значительное количество энергии. Наблюдения над сравнительно большими массами радиоактивного вещества показывают, что распад различных атомов происходит независимо друг от друга, так что числа распадов атомов в неперекрывающиеся промежутки времени независимы между собой. Кроме того, вероятности того, что за промежуток времени определенной длины произойдет некоторое число распадов, зависят от длины этого промежутка и практически не зависят от того, где во времени он расположен. В действительности, конечно, по мере уменьшения массы вещества его радиоактивность постепенно убывает. Однако для сравнительно небольших промежутков времени (и не слишком больших количеств вещества) это изменение настолько незначительно, что им вполне можно пренебрегать.
