Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
326
Гл. 10. Теория стохастических процессов
искомое решение уравнений (11) записать в виде
^ (у — х — А)2
fit, х; т, у) = -—-г е 2°2
о \'2п
где обозначено
т т
А - f a (z) dz, о2 = / b (z) dz. t t
§ 55. Чисто разрывный процесс.
Уравнения Колмогорова—Феллера
В современном естествознании большую роль играют процессы, в которых изменение системы происходит не непрерывно, а скачками. Примеры такого рода задач приведены во вводном к настоящей главе параграфе.
Мы будем говорить, что случайный процесс ? (?) чисто разрывен, если в течение любого промежутка времени (?, ? + At) величина ? (?) остается неизменной и равной х с вероятностью 1 — р it,x) At + o(Af) и лишь с вероятностью р it, х) At + о iAt) может претерпеть изменение (при зтом мы считаем, что вероятность более чем одного изменения ? (?) за промежуток времени At есть о (А?)) . Естественно, что поскольку мы ограничиваемся рассмотрением процессов без последействия, функция распределения дальнейших после скачка изменений ? (?) уже не зависит от того, какое значение имело ? (?) в моменты, предшествующие скачку.
Обозначим через Pit, х, у) условную функцию распределения % (?) при условии, что в момент ? произошел скачок и непосредственно до скачка % (?) было равно х (т.е. ? (? — 0) = х).
Функция распределения Fit, х; т, у) легко может быть выражена через функции pit, х) и Pit, х,у), а именно
Fit, х\ т, у) = [1 - pit, х) (г - ?)] Ь\х, у) +
+ (т - t) pit, х) Pit, х, у) + о(т - t) ¦ С1)
По смыслу определения функций pit, х) и Pit, х, у) они неотрицательны, причем для Pit, х, у), как для функции распределения, выполнены равенства
P{t, х, - °°)= 0, Pit, х, + °°) “ 1.
Кроме того, мы предположим, что p(t, х) ограничена, обе функции pit, х) и P{t, х, у) непрерывны относительно ? их (достаточно, на самом деле, предположить, что они измеримы по Борелю относительно х) .
§55. Чисто разрывный процесс
327
В отношении функции F{t,x\ т, у) мы не станем делать никаких предположений и лишь сохраним ее определение при t = т:
lim F(t,x\ т,у) = lim F{t,x\ т,у) =
г -*¦ t + О Т -*¦ г —О
г 0 при у <х,
= Е(х,у) =
[ 1 при у > X.
Одна из задач настоящего параграфа состоит в доказательстве следующей теоремы.
Теорема. Функция распределения F(t, х; т, у) чисто разрывного процесса без последействия удовлетворяет двум следующим интегро-дифференциальным уравнениям -.
bF(t, х; т, у )
-------------- = p(t, х) [F(t, х\т, у) -
bt
- fF(t, z; т, y)dzF(t, х, z)],
(2)
bF(t,x\T,y) y
-------------- =- f p(t, z)d2F(t, x; т,у) +
ОТ - °°
+ fp(r, z)F(t, z, y) dzF(t, x\t, z). (3)
Уравнение (2) было получено А.Н. Колмогоровым в 1931 г.; в сделанных нами предположениях оба уравнения (2) и (3) были получены В. Фел-лером в 1937 г. Это обстоятельство приводит нас к естественному наименованию уравнений (2) и (3) уравнениями Коломогорова-Феллера. Доказательство. В силу обобщенного уравнения Маркова
F(t, х\т, у) = f F(t + At, z; т, у) dzF(t, x; t + At, z) .
Подставив сюда значение F(t, x; t + At, z) по формуле (1) , находим, что
F(t, х;т, у) = fF(t + At,z; т, у) dz[ 1 -p(t,x)A(t) +
+ o(At) ] E(x, z) + f F(t + At, z; r, y) dz [ p(t, x)At + o(Af)] P(t, x, z ) .
Так как
f F(t + At, z\r,y) dzE(x, z) = F{t + At, x\ r, y),
TO
F{t, x; t, y) = [1 - p(t, x) At] F(t + At, д:; т, у) +
+ Atp (t, x) f F{t + Д t, z; t, y) dzP(t, x, z) + o,'At) .
328
Гл. 10. Теория стохастических процессов
Отсюда
F(t + At, х-т, - F(t, х-т, у)
¦p(t, x)F(t + At, х\т,у) +
At
+ p(t, x) f F(t + At, z; t, j) dzP(t, x, z) + o(l).
Переход к пределу приводит нас к (2).
Уравнение Маркова и (1), а также определение функции Е(х, z) позволяют написать следующую цепочку равенств:
F(t,x\ т + Ат, у) = / F(t, z; т + Ат,у) dzF(t, х\т, г) =
= / {[1 -р(т,г)Ат]Е(г,у) + Атр(т,г)Р(т, г, у) +
+ о(Дт)} dzF(t, х; т, z) =
У У
= f dzF(t, х; т, z)-Ат / р(т, z) dzF(t, х; т, z) +
+ At / р(т, z) Р(т, z, у) dzF(t, X', t,z) + о(Ат).
dF
Обычным путем отсюда следует существование производной — и равен-
дт
ство (3).
Мы решим еще одну важную для приложений задачу: с какой вероятностью в течение промежутка времени от t до т (т > г) система может изменить свое состояние то или иное число п раз (и = 0,1, 2,.. . ) ?
Обозначим через рп (г, х, т) вероятность того, что отправляясь от состояния х в момент ?, система п раз изменит свое состояние до момента т. Решение задачи начнем со случая п = 0.
