Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Сбор статистических сведений, касающихся главным образом населения, производился уже давно: имеются сведения, что в 2238 г. до нашей эры в Китае при императоре Яо была произведена перепись населения; производились переписи населения и в древнем Египте, древнем Иране, Римской
12. Б.В. Гнеденко
354
Гл. 11. Элементы статистики
империи; известны переписи населения в России в 1245,1259,1273, 1287 гг. и более поздние. Нужно, правда, отметить, что эти переписи были чрезвычайно примитивны и в Китае, например, в течение 200 лет население учитывалось путем копировки списков предыдущих переписей. Однако даже такие неполные и несовершенные переписи давали возможность намечать важные государственные мероприятия. Практическое значение статистики в наше время велико.
Большим мастером использования статистических методов был В.И. Ленин. Желая иметь дело не с отдельными фактами, не с отдельными событиями, а со всей совокупностью фактов, желая путем анализа массовых явлений вскрыть качественное их своеобразие, В.И. Ленин систематически обращался к статистике. В качестве образца конкретного статистического исследования можно привести работу В.И. Ленина ’’Развитие капитализма в России”. Имеются несколько страниц, к сожалению незаконченной, работы В.И. Ленина ’’Статистика и социология” (’’Ленинский сборник”, т. XXX, с. 302), в которой, по-видимому, предполагалось развить общие принципы статистического анализа социальных явлений. В.И. Ленин высоко ценил статистику как орудие познания реального мира. Его слова, что социально-экономическая статистика — одно из самых могущественных орудий социального познания, в неменьшей мере относятся и к математической статистике, широко используемой не только в естествознании, но и в экономике, социологии, инженерном деле. Роль математической статистики не ограничивается вопросами обработки экспериментальных данных, а распространяется и на управление технологическими процессами, а также на большую проблему проверки соответствия теории того или иного явления экспериментальным данным.
Исходным материалом для статистического исследования реального явления служит набор результатов наблюдений над ним или же результатов специально поставленных испытаний. Вопросов, которые при этом возникают, очень много. Укажем теперь некоторые из них.
1.Оценка значения неизвестной вероятности случайного события.
2. О п р е д е л е н и е неизвестной функции распределения. Задача ставится так: в результате и независимых испытаний над случайной величиной | получены следующие ее значения:
хих2,. .. ,хп.
Требуется определить, хотя бы и приближенно, неизвестную функцию распределения F (х) величины %.
3.Определение неизвестных параметров распределения. Часто общетеоретические соображения позволяют сделать достаточно определенные заключения о типе функции распределения интересующей нас случайной величины. Так, например, теорема Ляпунова дает воз-
§ 60. Задачи математической статистики
355
можность считать, что в определенных случаях функция распределения должна быть нормальной. При этом определение неизвестной функции распределения сводится к определению по результатам наблюдений только неизвестных значений параметров аист.
Общая задача ставится так: случайная величина i- имеет функцию распределения определенного вида, зависящую от к параметров, значения которых неизвестны. На основании последовательных наблюдений величины i-нужно найти значения этих параметров.
Очевидно, что определение неизвестной вероятности р события А является частным случаем только что сформулированной задачи, так как мы можем рассматривать случайную величину if, принимающую значение 1, если событие А появляется, и значение 0, если событие А не появляется. Функция распределения ? зависит от единственного параметра р.
В § 50 мы рассмотрели результаты наблюдений над числом частиц золота, взвешенных в воде. Предполагалось, что это число должно подчиняться закону Пуассона и требовалось оценить параметр распределения X. Рассматриваемая нами задача как раз включает приведенный пример.
Решение только что поставленной задачи будет нами дано лишь для нормального распределения
1 (х~а)2
f (х \а, ст)= —— е 2°2 . а \/2тг
В этом случае вторая задача, очевидно, может быть разбита на 3 частных вопроса:
1) величина ст предполагается известной, требуется оценить неизвестное значение а\
2) величина а предполагается известной, требуется оценить неизвестное значение ст;
3) оба параметра а и ст неизвестны, требуется оценить их значения.
Более точно эти вопросы могут быть поставлены следующим образом:
в результате п независимых испытаний величина i- приняла следующие значения:
Xi,X2>. .. ,хп.
Требуется указать такие функции а = а(хь . .., х„) и ст = ст(х1; . . . , хп) (в первой задаче а может быть также функцией ст, а во второй задаче а может быть функцией а), которые было бы рационально принять за приближенные значения оцениваемых величин аист. Помимо этого нужно также оценить среднюю точность этих приближенных формул.
