Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Иногда предпочтительнее искать не приближенные значения неизвестных параметров а и ств виде функций а и ст, а такие функции а, а" (а' и ст") от результатов испытаний и известных величин, чтобы с достаточной прак-
356
Гл. 11. Элементы статистики
тической надежностью можно было утверждать, что
а' < а < а" и, соответственно,
а' < а < а".
Функции a', a"(o', а") называются доверительными границами для а (а). Впоследствии мы изложим два подхода к решению этих задач.
4. Проверка статистических гипотез. Задача, которую мы здесь рассмотрим, ставится так: на основании некоторых соображений можно считать, что функция распределения случайной величины ? есть F(x); спрашивается, совместимы ли наблюденные значения с гипотезой, что ? действительно имеет распределение F(x) ?
В частности, если вид функции распределения не вызывает сомнений и в проверке нуждаются только значения некоторых параметров, характеризующих это распределение, то в задаче спрашивается: не опровергают ли результаты наблюдений ту гипотезу, что параметры распределения имеют предположенные значения? Это — задача проверки простой гипотезы. Если проверяемая гипотеза состоит в том, что параметры принимают не точно определенные значения, а какие-то из некоторых определенных множеств (например, в случае биномиального распределения, гипотеза р < ро). то гипотеза называется сложной.
В качестве второго примера статистической гипотезы приведем проверку однородности статистического материала. Частым случаем этой задачи является следующий: имеются две последовательности независимых наблюдений над случайной величиной ? с функцией распределения Fx (jc)
Xu х2,. .. ,хп
и над случайной величиной 17 с функцией распределения F2 (jc)
Уг.Уг,-- ¦ ,Ут-
Функции распределения Fi(x) и F2(х) неизвестны; требуется оценить правдоподобность гипотезы Fi(jc) =F2 (Jc).
5. Оценка зависимости. Производится последовательность наблюдений сразу двух случайных величин ? и 17. Результаты наблюдений даны следующими парами значений: jc1( уи х2, Уг, ... ,хп,у„. Выяснить наличие функциональной или корреляционной связи между ? и 17 .
6. Управление процесами. Пусть имеется случайный процесс от дискретного или непрерывного времени ?(?)• Процесс под влиянием тех или иных причин может нарушить свое нормальное протекание и стать иным, скажем ?i(f). Это нарушение нормального течения может привести к нежелательным последствиям и нам нужно своевременно заметить
§61. Классический метод оценки параметров
357
момент ’’разладки” и оказать управляющее воздействие с целью восстановления нормального хода процесса.
В качестве примера мы можем указать на действие технологической линии, которая вырабатывает определенную продукцию. Время от времени в сипу различных причин процесс выходит из нормального состояния. Этими причинами могут быть затупление инструмента, нарушение теплового или электромагнитного режима. Они приводят к ухудшению качества продукции. По наблюдениям нужно уловить Момент разладки и восстановить ход процесса.
Заметим, что перечисленными задачами далеко не исчерпываются основные проблемы математической статистики. Совершенно новые задачи перед математической статистикой ставит промышленная и научная практика. В частности, само планирование испытаний является одной из основных задач математической статистики.
§ 61. Классический метод определения
параметров распределения
Классический метод определения неизвестных параметров функции распределения случайной величины ? состоит в том, что до наблюдения эти подлежащие оценке величины считаются случайными величинами, подчиненными некоторому ’’априорному” (доопытному) закону распределения вероятностей. Предполагая этот априорный закон распределения известным, можно вычислить, пользуясь теоремой Байеса, ’’апостериорный” (послеопытный) закон распределения параметров при условии, что результаты наблюдений над ? оказались равными х1,х2,.. . ,х„.
Как мы уже говорили раньше, все последующее изложение будет относиться к определению неизвестных параметров а и а нормального закона распределения
I _
р(х\а, а)=----------е 2а*
оу/2тт
которому подчинена наблюдаемая случайная величина ?.
Плотность распределения вероятностей того, что в результате п независимых наблюдений над величиной ? будут получены значения xlt х2,... ... , хп при условии, что неизвестные параметры имеют значения л и а, равна 2
f(xltx2......хп\а,о)= -------1------ е 1о\
(о\/2тт)п'
где
s2 = 2 (хк - а)2. к = 1
358 Гл. U. Элементы статистики
Если ввести обозначения
- 1 v
х = - 2 хк,
П к- 1
*1 = - 2 (хк -х)2, п fc = l
то простой подсчет показывает, что
