Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гнеденко Б.В. -> "Курс теории вероятностей " -> 131

Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.

Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей — М.: Наука, 1988. — 445 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriiveroyatnostey1988.pdf
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 133 134 135 136 137 .. 176 >> Следующая


Практическое значение теорем 1, 3, 5 неодинаково. По теореме 1 точность приближенных формул (5) и (5') увеличивается не только с увеличением и, но и с уменьшением а. Поэтому для определения а при известном а имеется основание пользоваться формулами (5) ц (5') даже при малых п, если только мало а. В случае же теорем 3 и 5 остаточные члены полученных формул убывают только с возрастанием и, и поэтому при малых значениях п они не дают ничего.

Только что доказанные теоремы являются в некотором смысле обращениями следующих элементарных предложений. Если случайная величина ?

7Г\/2~

М(д|хь х2,... ,х„) = х +0

п

Що\хъх2,. . . ,Х„] =Si

; 1

\fn

)
366

Гл. 11. Элементы статистики

нормально распределена, параметры аист известны, хи х2,. . . , х„ являются результатамии независимых наблюдений ?, то

1. Плотность распределения величины

\fn

а = ------(х-а)

а

равна

ф(х\а, ст) = ------ е~х%!г.

\J1ti

2. M(x |а, ст) = а и D(x |а, ст) = а1/п.

3. Плотность распределения величины

J - а ,—

0 = -------- sj2n

а

асимптотически равна

ф2(х |а, ст) = —зз e~x*l2.

V 2ir

а1

4. M(s\а, ст) = а{1 + 0(1/и)}; D(s|a,CT) = -----[1+0(1/и)].

2п

5. Величины а и /3 независимы, и плотность распределения величины (а, /3) асимптотически равна

j х2+у2

Фз(х,У\а, ст)= — е 2тг

6. M(jc|а, а) = a; D(x|a, ст) =

ст2

_ _ ст

М(х |а,ст)я«ст; D(s|a, ст) ^--------

2 п

Предложения 1 и 2 не требуют доказательства.

Докажем 3. В § 20 мы нашли, что плотность распределения величины J равна

, y/lK *(у)= ¦ ¦— ( ——) е

аГ(п/2) \ as/Y/

2 о2
§ 62. Исчерпывающие статистики

367

Легко проверить, что плотность распределения (3 есть

а /ах \

ф2(х\а,а)= ------- W------- + о .

у/гГ V \fn /

Несложные преобразования приводят нас к равенству

ф2(х\а, а) = ------- е~х*12.

s/гп

Для доказательства 4 заметим, что элементарные подсчеты приводят нас к равенствам

/ п + 1 \ / п \

'2 г(т~; -j- 2 r(rv

M7=V1 ст~е 4п MJ2=--------------- 02 = 02.

п Г(и/2) и Г(и/2)

Отсюда

( 1

Ms йо 1 — —

V 4 и

и

а2 / 1 \

DT = — 1-----) ¦

2и V 8« /

Независимость Зс и s~ будет нами доказана позднее. После того, как это будет сделано, остальные утверждения, содержащиеся в 5 к 6, становятся очевидными.

§ 62. Исчерпывающие статистики

Английским статистиком Фишером было введено весьма важное понятие, которое мы поясним сначала на частном примере. Предположим, что нами решается задача определения параметра а при известном а по п наблюдениям над нормально распределенной случайной величиной. Если априорная плотность распределения параметра а существует и равна ipi(а), то полученная нами в предыдущем параграфе формула (2) показывает, что условная плотность распределения <Pi(a\xi, х2,... , х„; а) полностью определяется знанием v’i (а)> ° и средним арифметическим результатов наблюдений хи х2, ¦ .., х„. Таким образом, каково бы ни было априорное распределение вероятностей параметра а, все то новое (в случае известной дисперсии), что вносят в оценку а наблюдения, заключено в одной единственной величине х. Говорят поэтому, что Зс является исчерпывающей статистикой для параметрам.
368

Гл. 11. Элементы статистики

Точно так же при известных а и ч>2(р) все то новое, что вносят результаты наблюдений в определение параметра ст, заключено в одной величине

- 2 (хк - *)2' [см. (3) § 61]. В задаче определения о при из-

вестном а, таким образом, исчерпывающей статистикой будет величина Т.

Общее определение исчерпывающей статистики мы дадим, следуя А.Н. Колмогорову.

Пусть наблюдаемая случайная величина имеет функцию распределения, зависящую от к параметров 0lt в2,. .. , вк, значения которых нам неизвестны. Любую функцию х (*1> хг> • • • . хп) 01 результатов наблюдений и от параметров, значения которых известны, называют статистикой.

Определение исчерпывающей статистики получает следующее естественное обобщение: система функций

Х,-(*1.*2....х„) (г= 1,2,... ,s)

называется исчерпывающей системой статистик для системы параметров в 1, в2, ¦ ¦ ¦, вк, если условное fc-мерное распределение для этих параметров при известных xlt х2, ..., х„ полностью определяется априорным распределением параметров в 1,в2,.. . ,вк и значениями статистик Xi, Xi > • • • . Xs-
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 133 134 135 136 137 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed