Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Практическое значение теорем 1, 3, 5 неодинаково. По теореме 1 точность приближенных формул (5) и (5') увеличивается не только с увеличением и, но и с уменьшением а. Поэтому для определения а при известном а имеется основание пользоваться формулами (5) ц (5') даже при малых п, если только мало а. В случае же теорем 3 и 5 остаточные члены полученных формул убывают только с возрастанием и, и поэтому при малых значениях п они не дают ничего.
Только что доказанные теоремы являются в некотором смысле обращениями следующих элементарных предложений. Если случайная величина ?
7Г\/2~
М(д|хь х2,... ,х„) = х +0
п
Що\хъх2,. . . ,Х„] =Si
; 1
\fn
)
366
Гл. 11. Элементы статистики
нормально распределена, параметры аист известны, хи х2,. . . , х„ являются результатамии независимых наблюдений ?, то
1. Плотность распределения величины
\fn
а = ------(х-а)
а
равна
ф(х\а, ст) = ------ е~х%!г.
\J1ti
2. M(x |а, ст) = а и D(x |а, ст) = а1/п.
3. Плотность распределения величины
J - а ,—
0 = -------- sj2n
а
асимптотически равна
ф2(х |а, ст) = —зз e~x*l2.
V 2ir
а1
4. M(s\а, ст) = а{1 + 0(1/и)}; D(s|a,CT) = -----[1+0(1/и)].
2п
5. Величины а и /3 независимы, и плотность распределения величины (а, /3) асимптотически равна
j х2+у2
Фз(х,У\а, ст)= — е 2тг
6. M(jc|а, а) = a; D(x|a, ст) =
ст2
_ _ ст
М(х |а,ст)я«ст; D(s|a, ст) ^--------
2 п
Предложения 1 и 2 не требуют доказательства.
Докажем 3. В § 20 мы нашли, что плотность распределения величины J равна
, y/lK *(у)= ¦ ¦— ( ——) е
аГ(п/2) \ as/Y/
2 о2
§ 62. Исчерпывающие статистики
367
Легко проверить, что плотность распределения (3 есть
а /ах \
ф2(х\а,а)= ------- W------- + о .
у/гГ V \fn /
Несложные преобразования приводят нас к равенству
ф2(х\а, а) = ------- е~х*12.
s/гп
Для доказательства 4 заметим, что элементарные подсчеты приводят нас к равенствам
/ п + 1 \ / п \
'2 г(т~; -j- 2 r(rv
M7=V1 ст~е 4п MJ2=--------------- 02 = 02.
п Г(и/2) и Г(и/2)
Отсюда
( 1
Ms йо 1 — —
V 4 и
и
а2 / 1 \
DT = — 1-----) ¦
2и V 8« /
Независимость Зс и s~ будет нами доказана позднее. После того, как это будет сделано, остальные утверждения, содержащиеся в 5 к 6, становятся очевидными.
§ 62. Исчерпывающие статистики
Английским статистиком Фишером было введено весьма важное понятие, которое мы поясним сначала на частном примере. Предположим, что нами решается задача определения параметра а при известном а по п наблюдениям над нормально распределенной случайной величиной. Если априорная плотность распределения параметра а существует и равна ipi(а), то полученная нами в предыдущем параграфе формула (2) показывает, что условная плотность распределения <Pi(a\xi, х2,... , х„; а) полностью определяется знанием v’i (а)> ° и средним арифметическим результатов наблюдений хи х2, ¦ .., х„. Таким образом, каково бы ни было априорное распределение вероятностей параметра а, все то новое (в случае известной дисперсии), что вносят в оценку а наблюдения, заключено в одной единственной величине х. Говорят поэтому, что Зс является исчерпывающей статистикой для параметрам.
368
Гл. 11. Элементы статистики
Точно так же при известных а и ч>2(р) все то новое, что вносят результаты наблюдений в определение параметра ст, заключено в одной величине
- 2 (хк - *)2' [см. (3) § 61]. В задаче определения о при из-
вестном а, таким образом, исчерпывающей статистикой будет величина Т.
Общее определение исчерпывающей статистики мы дадим, следуя А.Н. Колмогорову.
Пусть наблюдаемая случайная величина имеет функцию распределения, зависящую от к параметров 0lt в2,. .. , вк, значения которых нам неизвестны. Любую функцию х (*1> хг> • • • . хп) 01 результатов наблюдений и от параметров, значения которых известны, называют статистикой.
Определение исчерпывающей статистики получает следующее естественное обобщение: система функций
Х,-(*1.*2....х„) (г= 1,2,... ,s)
называется исчерпывающей системой статистик для системы параметров в 1, в2, ¦ ¦ ¦, вк, если условное fc-мерное распределение для этих параметров при известных xlt х2, ..., х„ полностью определяется априорным распределением параметров в 1,в2,.. . ,вк и значениями статистик Xi, Xi > • • • . Xs-