Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Из формулы (4) § 61 мы заключаем, что для параметров аист исчерпывающей системой статистик являются функции Xi = * и Хг =si- Понятно, что для каждого параметра а и ст в отдельности система статистик Xi и Хг также является исчерпывающей.
Без большого труда читатель может самостоятельно убедиться в том, что если случайная величина ? подчинена закону Пуассона
с неизвестным параметром а, то исчерпывающей статистикой для а будет х — среднее арифметическое результатов наблюдений.
Точно так же, если двумерная случайная величина (?, г?) распределена нормально, но параметры a, b, а1г а2 и г неизвестны, то исчерпывающей системой статистик для указанной системы параметров будут следующие пять функций:
П
П к= 1
Р {? = *} =
(к = 0,1,2,...)
1 " -
Xi(*i,*2, ¦ • ¦ ,х„) = ~ 2 хк =х,
П Аг = 1
1 п
ХЛУ\,Уг......Уп) = - 2 ук=у
п к = 1
§ 63. Доверительные границы
369
/ 1 п
Хз(*ь х2, •••. хп) = v — 2 (хк - Зс)2 = Si,
П fc= 1 /1 п
Х*(У1,У2, ¦ ¦ ¦ ,У„) = \/ — 2 (ук - у)2 = s2,
п к = 1
1 л
Х*(*ь. ••>*«, 7i-...-7n)= - 2 (xfc-x)(7fc-У) = 7.
n fc=l
Здесь (jc! , Ух), (jc2,у2),-••, (xn-Уп) ~ результаты наблюдений.
В качестве упражнения рекомендуем читателю самостоятельно определить исчерпывающие системы статистик для параметра 1) а, 2) Ъ, 3) Ст!,
4) ст2,5) г.
§ 63. Доверительные границы и доверительные вероятности
Во вводном параграфе к настоящей главе мы указали, что задача определения неизвестных параметров иногда ставится следующим образом: требуется определить такие две функции в'(xlt хг,.. . , хп) и в"(х1,х2,.. . ... , х„) от результатов наблюдений, чтобы была практическая уверенность в том, что неизвестный параметр в находится в пределах между в' и в". Функции в' и в" называются доверительными границами для параметра в. Для того чтобы доверительные границы для в были удовлетворительны, нужно, очевидно, потребовать, чтобы условная вероятность
Р{0'< в< в"\х1,х2,_________хп}
параметру в находиться в промежутке от в' и 0"при заданных xlt х2,.. ¦ .. . ,хп была достаточно близка к единице. Степень близости при этом определяется той практической задачей, с которой связано определение неизвестного параметра в. Если известна априорная плотность распределения для параметра в, то для определения доверительных границ в'(xt, х2,...
... , хп) и в (jcb jc2.....хп) естественно выбрать те в' и в", при кото-
рых для заданного и>, близкого к единице, выполняется равенство
в"
/, f(x 1,х2---,x„ie)<p(9)d9
CJ = Р{0'< в < в" I.*! , JC2, . . . , Х„ } =------------------------- .
/ f(xi,x2-----,х„\e)e(0)d0
— оо
и при этом разность в" —в' будет минимальна.
Задача определения доверительных границ в такой постановке сложна не только потому, что она приводит к сложным аналитическим операциям,
370
Гл. 11. Элементы статистики
но в первую очередь потому, что априорная плотность уэ(0) для параметра 0 нам обычно бывает неизвестна. Мы видели, что задача получает осмысленное и простое решение не зависящее от априорного распределения для параметров, если число наблюдений п настолько велико, что имеется возможность пользоваться предельными теоремами.
Можно, правда, идти по другому пути, а именно искать правила такого рода: каковы бы ни были результаты наблюдений д:х, х2,. . ., хп, требуется указать такие доверительные границы 0'(*i> хг> ¦ ¦ ¦ > ¦*„) и e"(xi, х2,.
х„), чтобы с заданной уверенностью (вероятностью) можно было считать,что
в'(х,,х2,... ,х„)< в < в"(Х1,Х2,-------хп).
Так как заранее неизвестно, каковы будут результаты наблюдений, то при решении вопроса о том, следует рекомендовать это правило или нет, нужно обращаться не к рассмотрению условных вероятностей
Р{0' < 0 < в" \xlf х2,... , хп),
а к рассмотрению безусловной вероятности
Р{0'<0<0"} (1)
того, что при применении правила не произойдет ошибки.
При заданном виде функций 0'(xlt х2,. . . , х„) и в"(х1г х2,. .. , х„) вероятность (1) зависит, конечно, от функции распределения величин Ху, х2,... , х„. Если это последнее распределение зависит от к параметров 01, 02,..., вк и безусловная плотность распределения этих параметров дается функцией ^(01,. . . , 6к), то
Р{0'< 0 < 0"} =
= /.../Р{0'< 0< 0" 101,02, - • •, 0fc>0(0i, • ¦ •, 0k)d6 у,,d6 к.
Особенно важным на практике является тот случай, когда условная вероятность
Р{0'< 0< 0"10,,02,...,-0*} (2)
