Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
п
Подстановка в эти равенства вместо функции ^ ее значения по (5) и последующие несложные подсчеты доказывают теорему.
Доказанная теорема позволяет написать следующее приближенное равенство:
а ~х,
средняя квадратическая ошибка которого приближенно равна а2/п.
Теорема 1 позволяет получить вероятность того, что а заключается в определенных границах при условии, что величины a, xlf х2,. . ., хп приняли определенные значения. Действительно,
Р |а -х|<
oz
*1.......хп-,а] = Р{|а|< Z 1*1,-----------хп\а}
362
Гл. 11. Элементы статистики
и, следовательно, в силу (5)
OZ
Р fl-3t <
хи-------хп\о =
у/bn
— fe t2/2dt + o(-----V
7 о \Vn~J
Пренебрегая величиной 0(ст/\^Г) (что можно сделать, вообще говоря, только тогда, когда или ст мало или п достаточно велико), мы можем считать,что
р(| а -х\ < ------z\xi,x2.......х„;а} = ------- fe~fl>2dt.
I у/п ' у/2п 0
Теорема 3. Если априорная плотность распределения 02(ст) имеет ограниченную первую производную и <p2(J) ^ 0, то равномерно относительно z
Ф2(?\х1,х2,------хп\а)¦
1
у/п
1 +
(1 + |z|)
где ф2 - апостериорная плотность распределения величины ст-х
(9)
и S = s/y/n.
Доказательство. Действительно,из (9) находим,что и что
\jj2(z\xltx2----,хп’,а)= — s ( 1 + ~1г) х1>хг>-----хп,а)~
\/п \ ' у/п 1 >
(it-i
' \/п
л/«
!(l+v^) ‘ zs
y/W
2a
-yfn \ yfn
По формуле конечных приращений
02 (ст)da
§ 61. Классический метод оценки параметров
363
Z S
где и — s + в-----------> а О < в < 1.
Согласно условию теоремы |*;<и)|< С< + <*>, поэтому
ф2(г\х1,х2,... ,х„;а)~
у/п )
-Y\
Z S
yfrs |Л(У)+ ___ 0(1)
у/п
" / Р \ ~п
<p2(s) f 1 + ——-I е
-sfn \ yft)
( 0 \ г^г)
dp
Z \ -n + -----\ ?
yfUl
2 1 +
y/n )
Ho
-nln I 1 +
n
2
(10)
/ (3 у
0 „ 21+
1 + -------I e \ V" > d&
->ЛГ\ v« r
-n
z z
1 _ 2--------- + 3 —
y/n n
y/n
H-Hi)
y/n 2
i ?¦...)
2 n )
(H)
j = j /1 + JL V "e ^ 1 ля = « 2 ‘т 2 r, 2
-чЛГ\ >/й/
<i/3 = n 2 2 /г e~zdz-
0
364
Гл. 11. Элементы статистики
По формуле Стирлинга
п-з
/и-1\ ) п-Ъ1п-Ъ \ 2 - ~
г(——гН ' 11+0(1)1 •
следовательно,
)п . , п
п~ - + 1 --+-
2 2 п 2 в 2 2 [1 + о(1)] =
/ з \ ? _?+1 _и
= ч/тГ( 1---J2 е 2 2 [1 +о(1)] = \рпе 2 [1 +о(1)]. (12)
Равенства (10), (И) и (12) доказывают теорему.
Из теоремы 3, очевидно, следует такой результат:
Теорема 4. В условиях теоремы 3 имеют место следующие соотношения :
М(а|х1,х2,.. . ,хп\а)=Т +о(1/и)
и
I2 _
М[(а -lf\Xi,Xi,------х„;а] = — [ 1 + o(l/V« )].
2 п
Эта теорема позволяет нам заключить, что при больших п имеет место приближенное равенство
o~J- 2 (хк - а)2,
П к = 1
средняя квадратическая ошибка которого приближенно равна I2/(2л).
Теорема 3 может быть использована также для определения вероятности того, что а будет находиться в заданных границах. Так, пренебрегая
величинами порядка 1 /\/п, мы можем утверждать, что при заданных хих2,..., хп и а с вероятностью
а находится в границах
В отношении третьей поставленной нами задачи мы ограничимся только формулировкой результатов, так как их получение ничем не отличается
§61. Классический метод оценки параметров
365
от доказательства теоремы 3. Введем обозначения
U — Л .----
<*i = —I— v4 Pi =
Si
а - х
где Si = Si
п
Теорема 5. Если априорная плотность распределения <р3(а, а) имеет ограниченные первые производные по а и а и Фз(х, Ф 0, то равномерно относительно a.i и ($i
где ф3 означает апостериорную плотность распределения пары (aj, Pi). Из теоремы 5 вытекает такой результат.
Теорема 6. В условиях теоремы 5
Как и теоремы 1 и 3, теорема 5 может быть использована для определения вероятностей того, что а и а будут находиться в заданных границах при условии, что наблюденные значения оказались равнымих2,. . . , хп.
