Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
1 [*? + (х-в)2]
f(x ....х„\а,а)= --------—— е а (1)
(a yjbj)"
Напомним, что в § 60 были поставлены следующие три задачи:
1) о известно, требуется определить а\
2) а известно, требуется определить а;
3) а и а неизвестны, требуется их определить.
Если предположить, что а известно и t^i(a) означает априорную плотность распределения величины а, то для условной плотности распределения вероятностей величины а при заданном а и найденных значениях х 1, х2,.... хп получим такое выражение:
f(x{,x2,-------x„ka)v?i(a)
<Pi(a\xi,x2....х„\а)= —----------------------(“ •
Sf(xi,x2,------х„\a, d)^i(a)da
После подстановки вместо функции / ее значения по формуле (1) и последующих очевидных сокращений находим, что
_ п(“-*У
е 2°2 ¦
Vi(a\xi,x2-----,хп;о)= -------------=----------------------------------- • (2)
п(а-х )J
fe 2°2 • Vx(a)da
Во второй и третьей задачах соответствующие формулы имеют вид:
f(xi,x2........хп\а, о)у2(о)
<Рг(о\х1,х2.....хп;о)-
<р3(а, о\хих2,---хп) =
ff(xl,x2........х„\a, a)ifi2(a)da
fixх,хг,--------хп\а,о)у3(а, а)
SSf(x\,x2,.. . ,х„\а, а)</?3(я, a)dada
где функции ip2ia) и ^з(а, а) обозначают априорные плотности распределения вероятностей величины о и пары ia, а).
§61. Классический метод оценки параметров
359
После подстановки в эти формулы значения / по формуле (1) и последующих простых сокращений находим, что
Полученные формулы непригодны для практического использования не только в силу их сложности, но главным образом потому, что входящие в них априорные вероятности, как правило, нам бывают неизвестны. Часто, не зная априорных плотностей, делают о них более или менее произвольные допущения и на их основе получают обозримые для практического применения формулы. Мы пойдем по иному пути: сделаем совершенно общие допущения о характере априорных распределений и из этих допущений выведем предельные закономерности (при п-+°°) для апостериорных вероятностей.
Теорема 1. Если априорная плотность распределения <р\(а) имеет ограниченную первую производную и
^>2(o\xi,x2------,хп\а) =
а~пе 202 *2(а)
(3)
/ а "е 20 <p2(p)do
О
и
<р3(а, о\хих2-----------,хп) =
(4)
1?э (а, а) da da
о
ip, (х)# О,
то равномерно относительно а
где
V/T
а = -------- (а - х),
^i(a\xltx2.......хп;а)= е
у/2 я
1
а
a \pi(a\ Xi, х2,..., хп; а) обозначает апостериорную плотность распределения величины а.
Доказательство. Действительно,из (6) находим,что
360 Гл. 11. Элементы статистики
и, значит *),
-а 12
а V \fn
0i(a|*i,*2-----,х„',а) =
F)
^ fe a2/2^i(x + ——\ da
у/гГ I
По формуле конечных приращений
(_ аа \ _ аа
X + ——— J =0i(x)+ --------------- ^(z),
\fn / л/тГ
аа
где z — х + в-------- и 0 < в < 1.
v^T
По условию теоремы 1ч?1(г)|< С< + °°, поэтому
е-°2/г
а
/(а \х1,х2,. .. ,хп-а) =
_ ост ,
0i(*)+ ---------- 01 (z)
sfn
у/п ч/27Г [0! (jc) + r„]
где
rn = - g--------/ ae-"2/2ip[(z)da.
y/2nn
Легко сообразить, что
2 Со
kJ<
у/ъГгГ
*) Заметим, что плотность распределения величины а равна ст
^(a'lx,, ... ,хп; а) = —— *>,(в |х, ,х,, . . . , х„;ст).
V”
(8)
§ 61. Классический метод оценки параметров Несложные преобразования приводят нас к равенству
361
ФЛ<Х\Х1,Х2.......х„\а) =
1
\/2тг
-а1/2
1 +
, у/п
сир (z) — ----------
а а
y[W 'Pix) + rn
Полученное равенство вместе с (8) доказывает теорему. Теорема 2. В условиях предыдущей теоремы
I °2\
М(а|хь х2...хп,о) = х + ^ I — I ’
М[(а-х)2|хьх2,----хп,а] = — 7^ '
Доказательство. Действительно, из (7) находим, что
\fn
М(а\В)
(5')
М[(д - Зс)2|Я] = — М(а2\В), п
где В означает некоторое событие. Следовательно,
о
М(а|хьх2......х„;а) = х +
/аф! (а|х 1,.. . ,xn \a)da
M[(a - х)2 |л-ь х2...х„\а\= — / а2^^*!,... ,хп\a)da.
