Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
-Две* = k2ek, (9.5.3)
где k2=^Tj ka. Напомним, что CD = (-Ad-f
а
208 Гл. 9. Анализ и перенормировки
Рассмотрим конечную решетку Л6 с шагом б. Пусть 6Zd = {62: zeZ"},
Int Лб = Int Л П 6Zd, дА& = <5Л П 6Zd, (9.5.4)
Лб = Int Л6 U дЛ6 - Л П 8Zd.
Для того чтобы приближения были между собой согласованы, выберем б = 2~v,
veZ+. Определим гильбертово пространство /2(Int Лб) со скалярным
произведением
/>mtAft= X б"|/(х)|2. (9.5.5)
п х с-= Int ла
Пространство /2(IntA6) будем рассматривать как подпространство в /2(А6).
Прямой решеточный градиент на /2(6Zd) определяется формулой
(<W) (JC) = б-> [/(* + бea)~f(x)}, (9.5.6)
где еа - единичный вектор а-го координатного направления. Обратным
градиентом служит сопряженный к дй,а относительно скалярного произведения
в /2(6Zd) операторов,а и
- А6 = д1д6 = д6д1= X д1адб,а,
а
так что
(A6f)(x) = &-4-2df(x)+ Е fix')]. (9.5.7)
L б, с. х J
Для упрощения обозначений мы ниже будем писать да вместо
<?в,а. В (9.5.7) суммирование ведется по 2d узлам решетки -
ближайшим соседям точки .г. Обозначим IIintAe ортогональный проектор из
/2(бZd) па подпространство /2(IntA6). Разностный оператор Лапласа с
граничными условиями Дирихле определяется соотношением
Дв, d = Пшлв ЛаПылу (9.5.8)
В частности, если ;ceIntA6 и /e/2(IntA6), то (Да, d[) Ы) совпадает с
(9.5.7). Суммирование по частям дает
(/> ^&f)dzd ~ ^ Xj d&f (х) |2. (9.5.9)
Градиент удобно рассматривать как функцию, определенную на ребрах,
связывающих соседние узлы. Пусть B(6Zd) - множество
9.5 Решеточные операторы Лапласа и ковариационные операторы 207
ребер решетки бZd, а В(А&) - множество тех из них, которые содержатся в
Лв. Тогда для fe/2(IntAe)
</, -A6>D/)IntA =(f, -Ы) * = 6d Z (9.6.10)
6 OZ lieSjAj)
Таким образом, разностный оператор Лапласа с граничными условиями
Дирихле, как и в непрерывном случае, возникает в результате сужения
области определения билинейной формы, соответствующей разностному
оператору Лапласа в /2(6Zd).
Предложение 9.5.1. Оператор Лапласа с граничными условиями Дирихле -Ай, d
определяет ферромагнитное взаимодействие. Для этого взаимодействия
справедливы корреляционные неравенства, доказанные в гл. 4.
Доказательство. Внедиагональные члены в (f, - Df)\ 6 появляются из
в (9.5.7). Эти члены ферромагнитны, так как имеют вид: отрицательное
число, умноженное на f(x)f(x'). Диагональные члены этой квадратичной
формы (имеющие противоположный знак и не являющиеся ферромагнитными)
будем относить не к взаимодействию Н, а к плотностям d[it(?t), введенным
в § 4.1. Таким образом, взаимодействие является ферромагнитным. Щ
Пусть Сб,л=(-Ae, D+m2)-1 есть решеточный ковариационный оператор с
граничными условиями Дирихле, а С6 = С6,0 = = (-А5 + /п2)-1 - свободный
решеточный ковариационный оператор. Рассмотрим Се, о как оператор во всем
пространстве /2(бZd). При этом граничные условия Дирихле задаются на всех
гиперплоскостях, порожденных сдвигами дЛ6. Тогда Се, о и Сб связаны
формулой, аналогичной (7.5.1) (полученной с помощью многократных нечетных
отражений).
Предложение 9.5.2. Равномерно по б выполняются следующие неравенства
(первое в смысле /2-операторов, а второе поточечно)!
0 ^ Се, m~2I,
Сб, d(x, у) > 0, x,ysz IntA6.
Доказательство. Поточечная положительность выводится из решеточного
принципа максимума [Bers, John, Schechter, 1964], как и при
доказательстве следствия 7.5.2. Из (9.5.10) вытекает, что -0, откуда
получаются операторные неравенства. В
Для подробного анализа Се, d диагонализуем А в, о, выбрав в (IntЛб)
базис, состоящий из (б-1 - \)d функций вида
{el (х) = ek (х): xelntAe, ka = n, 2л......(б-1 -1)я}, (9.5.11)
где вк определяются формулой (9.5.2). Заметим, что е* обращаются в нуль
на дА6, поэтому е* <з fo(IntДв).
208 Гл. 9. Анализ и перенормировки
Предложение 9.5.3. Векторы е\ являются собственными векторами оператора -
Аа,о и
d
-Аб,ве1 = йе1 ^ = 46~2 ? sin2(66a/2). (9.5.12)
а=1
Кроме того,
('е\> ef)intл, = /• (9.5.13)
d
Доказательство. Так как - Д6 D - ^ nlntA да<?а111п1Л и слагаемые суть
а = 1 5 6
коммутирующие самосопряженные операторы, мы можем диагонализовать каждое
слагаемое П1п(л^ да <?аП[п4л^ независимо. Проверим, что sin(?a*a) есть
собственная функция ПГп( А& д*а <?anInt Действительно, П1п1 А& sin (kaxa)
= = sin (kaxa), x "= Int A6,
d*a da sin (kaxa) = 26"2 {* ~ cos (M)} sin (kaxa)> (9.5.14)
поэтому имеет место равенство (9.5.12). Кроме того, s'm(kaXa) есть
простая собственная функция оператора <?' да, следовательно, (е\, -
0 при k ф I.
Для вычисления нормировки е| заметим, что квадрат нормы разлагается в
произведение:
\Ш1А=^й ? sin2(fea6/a). (9-5.15)
6 о=1/ -О
поэтому достаточно найти сумму, отвечающую a = 1. При k = nl и / = 1, 2,
... .,., б-1 ¦- 1 имеем
i/б (1/6>-1
26 ? sin2 (k6j) = 6 ? {1 - Re еш&1} =
/=о j=o
= 1 - 6 Re [(l - еш)/{\ - e2lk&)] = 1, (9.5.16)
так как 2k - 2nl, еш = 1 и 0 < 2?8 < 2я. Таким образом, равенство
(9.5.13)
доказано. |
Следствие 9.5.4. Отображение
/6: 4-"ек (9.5.17)
