Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
справедливо для В(,). Кроме того, по предложению 8.7.3 обе части
равенства сходятся при I-*- оо. Ц
(IV) Пределы мер
Пусть Сп - последовательность операторов ковариации. Если Сп-^С в смысле
слабой сходимости билинейных форм на то из (9.1.16), (9.1.17) вытекает
сходимость гауссовых мер
dq>cn~'"dtpc в смысле сходимости характеристических функций и моментов.
Пусть Ж cz 9? есть конечномерное подпространство. Цилиндрическая функция
f, определяемая с помощью W, есть функция вида
f(lр)= f "ф, Ш]>.......<ф, ш"",
где W\, ..., wn^W. Интеграл ^ fdq>c можно записать как конечномерный
гауссов интеграл с гауссовым показателем где
Cw - ограничение С на WXW- Из сходимости Сп к С вытекает сходимость Cnw к
Cw и Спш к Сщ1 (в предположении невырожденности С). В случае же
вырождения С гауссова мера будет содержать S-функцию. Из этих соображений
вытекает, что для непрерывной ограниченной цилиндрической функции f
\ ! (ф) ^Фс" -"• 5 f (ф) ^фС • (9.1.36)
В ряде ситуаций бывает нужно обобщить эту сходимость на случай Р(ф)2-меры
(9.1.30).
Снятие решеточного обрезания (§ 9.5, 9.6). Пусть Се1?1 и С{ - решеточная
аппроксимация С с шагом решетки б. Тогда С6->-С в смысле слабой
сходимости операторов в и соответствующие решеточные меры d\ic& сходятся
к мере d\ic в смысле сходимости характеристических функций.
Предел Дирихле (§ 7.8). Пусть Cef, Л - прямоугольник и Хл/ -
характеристическая функция множества А' (дополнение
к Л). Положим Ск - (С~1 + ЯхЛ,) .Тогда существует предел 11111(^ = 000 и
Сех"/= 0, если suppfcrA'. Предположим, кроме
л->со
того, что С-1 = -Ар + пг21, где Дг есть лапласиан Дирихле с
9.2 Инфинитезимальное изменение ковариации 195
нулевыми граничными условиями на Г с Л. Тогда оператор Соо1 = = - Дг и
ал. + "?2/ в пространстве Ь2(Л) есть лапласиан Дирихле с нулевыми
граничными условиями и на Г, как С-1, и дополнительно на дА.
Предел Неймана. Пусть
<f,cr1f) = <f,c-1f) + ^5|vfw \2dx.
Л'
Тогда существует предел lim С% - Соэ, и оператор Соо соответ-
А,-*оо
ствует (по крайней мере формально) граничным условиям Неймана на дА. В
дальнейшем мы не будем использовать этот предельный переход.
9.2 Инфинитезимальное изменение ковариации
В этом параграфе мы рассмотрим формулы интерполяции для мер d\.i вида
(9.1.30). Вначале обсудим гауссов случай и докажем
(9.1.33).
Предложение 9.2.1. Пусть C(t) - гладкое однопараметрическое семейство
ковариационных операторов в и писть А имеет вид
(9.1.1). Тогда
~dt \AdqC{t) = - ^ (Л^ Л) dq>c . (9.2.1)
Доказательство I. Предположим, что А = е1^8\ Для простоты положим С(0 = =
tCi -f (1 - t)Ci. Тогда
~ J Лd<?C(t) = J е1'Ф'(e)rfФс (0 = -%Г ехр ( " J (S' С (0 §)) =
= (0g> ехр (-4-(г. С (<) г)) =4* S(AcA)dCfW
(9.2.2)
Случай произвольных Л вида (9.1.1) рассматривается по аналогии с
доказательством (9.1.6,7).
Набросок доказательства II. Это альтернативное доказательство показывает,
что
(9.1.33) фактически есть формула интегрирования по частям. Мы
аппроксимируем интегралы в (9.1.33) конечномерными интегралами по мере
d(fn вида
d<?n = 'ехР ( " Y "¦ (ф. С (Ой 'ф) : ) <*Флебег d<Vc(t) • <9-2-3)
Здесь dФЛебег-мера Лебега, а виково упорядочение проводится относительно
ковариации C(t)". Тогда
-jr^Ad(fn=-------^ :{<f,-~cn(t)~'<f):Ad(fn =
- -Г S J <С" <Я~'Ъ.Сп (0 Cn(t)-><t)-.Ad<tn. (9.2.4)
196 Гл. 9. Анализ и перенормировки
Применяя формулу интегрирования по частям к каждому <р в выражении
:<С~1ф, СС~'ф>:, находим, что
Переходя к пределу при /г-*-оо, получаем (9.1.33). Мы не доказываем здесь
сходимость при п-"- оо, поскольку она вытекает, например, из предложений
§ 9.5.
Следствие 9.2.2. Пусть С\, С2 - ковариационные операторы и А имеет вид
(9.1.1). Тогда
1
^ Adyc, = ^ AdtyCx + 4" \ ^ \ (Ас2-с,Л) Лр"с2+ (i - t)cr (9.2.5)
о
Следствие 9.2.3. Для мер в конечном объеме справедлива формула
(9.1.34).
Доказательство. Включим в А множитель ехр(-и применим правило вычисления
производной сложной функции; его законность обосновывается с помощью
8.7.1-3.
9.3 Квадратичные возмущения
В этом параграфе мы будем изучать квадратичное возмущение ¦-V:c = ^ : ф
(*) v (х, у) ср (y):cdxdy (9.3.1)
(см. (9.1.22)) и гауссову меру
- -v-.r ,
е dy
dii = ----------------=Z"V :V:cdcpc. (9.3.2)
у :V:cdq>c
Здесь предполагается, что С - ограниченный положительный самосопряженный
оператор в L2(^d). Например, любой оператор Cef" удовлетворяет этим
условиям. Основное ограничение:
С-1 + v > 0. (9.3.3)
Мы требуем также, чтобы функция v(x, у) была вещественной и симметричной.
Во избежание технических трудностей предположим также, что v -
ограниченный оператор. Положим
v = C'^vC1'2. (9.3.4)
Предложение 9.3.1. Предположим, что выполнено условие (9.3.3). Пусть С -
ограниченный положительный самосопряженный оператор, v - ограниченный
оператор, a i - оператор Гильберта - Шмидта. Тогда функционалы :V:c и e~-
v'-c принадлежат Lp(d<pc) при всех р < оо и
Z = J е~ с dq>c = exp ( - ~ Тг [1п(/ + 6) - б]). (9.3.6)
9.3 Квадратичные возмущения 197
