Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Используя разложение на графы Фейнмана (следствие 8.3.2), вычислим каждый
из интегралов, входящих в (9.3.6), и покажем, что ряд (9.3.6) сходится.
Графы, дающие вклад в
(:V:c')n dq>c, имеют ровно п о-вершин. Каждая
и-вершина имеет два отростка, и соответствующий граф G есть объединение
связных компонент Gi, где О,- - петля с числом вершин щ 2, см. рис. 9.1.
Из-за формы этих графов разложение (9.3.6) называется петельным
разложением.
Пусть граф, вносящий вкладе ( - 1)(tm)^ (:7:c)rerf(pc.
имеет г связных компонент и П\ + ... -\-п, = п. В силу равенства
dx\... dxn dy\ ... dynv (xu yi)C(yu x2) v (x2, у 2) X Рис. 9.1. Связная
ком-
понента диаграммы, от-
ХС {y2,x3)...v(xn,yn)C{yn,x\) = lY({vC)n)= " Г " ,
вечающеи \ (: Vc :)nd<рс.
= Тг ((С1/2иС1/2)п) = Тг (0П), J
вклад i-й компоненты равен /(Ог) =(-1 /2)га"'Тг(гЭгаг)• Таким образом,
(-1)" j (¦v--c)nd<?c=Z7 (с)=Z П7 (Gi)=
a a i
'=ЕП(~1/2)Я'Тг
а г
где {О*}-множество связных компонент графа О. Подставляя в (9.3.6),
получаем, что
I 4П(-В"'-<*¦'>
П г {я, Пг: 2 ге,-=я, nt > 2} /=1
гДе есть число всех G, имеющих одинаковое количество петель и одни и те
же их размеры. Точнее, будем считать, что вершины G занумерованы и что п
1 - размер петли, содержащей первую вершину, Пг - размер петли,
содержащей первую из вершин, не входящих в предыдущую петлю, и т. д.
Разложение для Z
200 Гл. 9. Анализ и перенормировки
упрощается, если объединить суммирование по п е суммированием по tii. При
этом снимается ограничение на ^ щ, так что
т {га,, ... пг: п1 >2} I
Заметим, что можно вычислить точно:
/
Здесь биномиальный коэффициент равен числу способов разбиения всех вершин
на петли фиксированной длины. Деление на г! учитывает тот факт, что петли
считались упорядоченными. Число различных расположений вершин внутри
петли
(с точностью до изменения ее ориентации) есть - (я/ - 1)!. Наконец,
каждой вершине отвечает множитель 2, учитывающий две возможности
соединения двух отростков. Воспользовавшись выражением для представим
сумму произведений в виде произведения сумм:
Тг (- й")^ = ехр ( - у Тг [1п (/ + ?) - й]).
Таким образом, равенства (9.3.5), (9.3.6) доказаны при условии, что || 6
||Hs <С
< 1. I
Рассмотренные выше результаты применимы к локальным возмущениям массового
члена и в случае размерности d - 3, а не только d - 2. Следующее
утверждение относится к случаю более сингулярных возмущений.
Предложение 9.3.3. Определение (9.3.2) меры d\i можно распространить по
непрерывности на случай, когда v - ограниченный оператор "0<е^/+й.
Доказательство. Пусть й/ -*¦ й в сильной операторной топологии. Тогда (1
(1 +0)-1 и C0_->CV. Отсюда вытекает сходимость гауссовых мер
в смысле сходимости характеристических функций и моментов1).
В типичных случаях ядра, аппроксимирующие ядро v, определяются с помощью
импульсного и пространственного обрезания:
vk,a(x, y)^lA(x)v*{x,y)tK{y), где {х, у) = jj о (х - х', у - у') 6Х {х')
6К {у') dx' dy'.
Г=0 \л=-2
*) См. по этоь}у поводу работу: Ддбрушин Р. Л., Минлос Р. А. Полиномы от
линейных случайных функций. - УМН 32, № 2 (1977), с. 67-122.-Прим. ред.
9.4 Перенормировка по теории возмущений 201
9.4 Перенормировка по теории возмущений1)
Перенормировка есть изменение параметров (перепараметриза-дия) в
лагранжиане. Параметры в исходном лагранжиане не являются непосредственно
наблюдаемыми величинами, и перепара-метризация делается для того, чтобы
заменить разложение по теории возмущений, использованное в § 8.4,
разложением, включающим лишь наблюдаемые величины: массы частиц и
константы связи. Массы определяются как собственные значения в спектре
массового оператора М = (Н2-Р2)1/2. При этом каждому значению массы
соответствует лоренц-инвариантный гиперболоид в спектре оператора
энергии-импульса. Эквивалентным образом массу можно определить как
показатель экспоненциального убывания корреляций (см. гл. 14). Константы
связи определяются в терминах теории рассеяния. В частности, в
нерелятивистском пределе рассеяния константа связи определяется
характером взаимодействия между частицами на больших расстояниях.
Бозонным теориям, рассматриваемым в этом параграфе, в нерелятивистском
пределе обычно отвечают короткодействующие потенциалы типа Юкавы. При
этом характерное асимптотическое поведение потенциала на больших
расстояниях имеет вид
V(r) = {Х/4 nr)e~mT + 0(e~Cm+e)r), (9.4.1)
где X есть константа связи, a m > 0 - масса. Параметры X и m являются
функциями от параметров Хъ и ть, входящих в исходный лагранжиан ?. Так
как теория поля должна описывать наблюдаемые частицы, нам бы хотелось
подобрать Хъ и mb так, чтобы X и m имели предписанные значения. Другими
словами, мы обращаем функциональные соотношения X = А,(А,ь, ть), т =
т(Хь, ть). После этого можно рассматривать лагранжиан как функцию (не
обязательно однозначную) от X и т, определяемую обратными соотношениями
Хъ = Хь(Х, т), ть = ть(Х, т). Перенормированная теория должна определять
связанные состояния (другие собственные значения М) и дифференциальные
