Математические методы квантовой физики - Глимм Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Если ||u||hs < 1, то
оо
(9-3-6)
п=0
и ряд абсолютно сходится.
Замечание 1. Нормирующий множитель Z называется функциональным
определителем, так как в случае, когда возмущение V рассматривается без
викова упорядочения,
^ е~уйц>с = det(/ + и)~1/2, (9.3.7)
при условии, что интеграл (9.3.7) существует. Заметим, что для
симметричных положительных А имеет место равенство det Л - = ехр(Тг1пЛ),
поэтому формально
det (/ + б)~1/2 = det С~1/2 det (С~1 + v)~ '/2 =
= ехр [( - 1/2) Тг In (/ -f tf)]
(в случае конечномерных гауссовых интегралов эти равенства имеют точный
смысл). В частности, Z определяется с помощью выражения (9.3.7) только в
том случае, когда б имеет след.
Замечание 2. Виково упорядочение V, т. е. замена V на :V:c в
(9.3.7), исключает из экспоненты члены, линейные по б. Это есть в
точности множитель ехр( (1 /2)Тг б), так как :V:c=V - (l/2)Trtf. Таким
образом, можно определить перенормированный определитель deti:
detj (I -f v)~1/2 = det (I + v)~ '/2 det (exp 6)i/2 =
= exp[( - 1/2) Tr (In {I -f tf) - tf)].
В этом случае Z определено и тогда, когда оператор б не имеет следа.
Замечание 3. Отметим несколько различных случаев. (1) Если II^IIhs < 1 и
V рассматривается в виковом упорядочении, то Z разлагается в сходящийся
ряд по степеням и. (2) Если б есть оператор Гильберта - Шмидта и
выполнено условие (9.3.3), то Z определяется формулой (9.3.5) и равно
deti (/ + tf). (3) Даже если Z равно 0 или оо, мера d\i, определяемая
формулой (9.3.2), может существовать как предел аппроксимирующих мер. В
предложении 9.3.3 ниже рассматривается ситуация, когда Z может равняться
0. Если мера d\i существует, a Z не определено, то говорят
о перенормировке вакуумного вектора, связанной с делением на Z.
Аналогичное явление происходит в случае негауссовых мер: см., например,
обсуждение перенормировок в модели ср4 в § 14.3. (В гл. 8-12 мы следуем
терминологии, принятой в статистической механике. Так, при
мультипликативной перенормировке меры соответствующий множитель
называется статистической суммой и
108 Гл. 9. Анализ и перенормировки
обозначается Z. В гл. 14 обозначение Z используется для перенормировки
величины поля, т. е. мультипликативной перенормировки поля ф.)
Доказательство. Непосредственные вычисления дают
^ :V?cdyc = [| v ||^s.
Аналогичные равенства верны и для старших степеней, следовательно,
:V:C^LP
ОО
и :V:C непрерывно зависит от 0. Поскольку Тг[1п(/ + й)-v] = ^ [In (1 +
Я;)-
- Я/], где Л; - собственные значения симметрического оператора й, а
1п(1+х)-х = 0(хг) при х-*-0, этот ряд в случае, когда v - оператор
Гильберта- Шмидта, сходится. Таким образом, правая часть (9.3.5) конечна
и непрерывно (по норме |1 • ||hs) зависит от v.
Предположим, что равенство (9.3.5) выполнено для й из всюду плотного
линейного подпространства пространства операторов Гильберта - Шмидта.
Аппроксимируем произвольный оператор и последовательностью и,¦ из этого
подпространства. Тогда :V:c в Lp, и можно выбрать подпоследовательность,
для
которой имеет место поточечная сходимость почти всюду. Таким образом,
можно " 'V i'fl ~~ *V '• f
считать, что е 1 ~"е поточечно почти всюду. Кроме того,
|| e- _ е- --У,-с Ц2; = ехр ( _ J_ Tr|-In (/ + 2fl() - 261]) +
+ exp (---i- Tr [In (/ 4- 20/) - 2d/]j -
- 2 exp ^---- Tr [In (/ 4- 0/4- 0/) - 0/ - ?/]) -> 0 при /, /-> oo.
- :V:r
Следовательно,e elj и имеет место равенство (9.3.5). Применяя аналогич--
<р/2):V:r - -V-n
ные соображения к е , получаем, что е е Lp при всех р < оо.
Наконец, правая часть (9.3.5) при || v ||Hs < 1 разлагается в сходящийся
ряд по степеням v, откуда следует сходимость в (9.3.6). (В качестве
упражнения на вычисления с помощью диаграмм Фейнмана мы приведем
независимое доказательство формулы (9.3.6) после следующего ниже
предложения 9.3.2.)
Рассмотрим теперь подпространство операторов v с гладким ядром вида
J
v (х, У) = Yj Xifl М fl / =1
где f/е б**. В этом случае :V:c и е~'у'С являются цилиндрическими
функциями и Z можно вычислить точно (как конечномерный гауссов интеграл).
Положим g7 = С1/2//, так что
J
О (х, y)=Yj XlSi (x)g/ (у).
/=i
Не теряя общности, можно считать, что функции g/ ортонормированы. В силу
(9.3.3), Я/ > -1 при всех /, следовательно,
2 = Тг *(2я Г"2 J Д Г <1/2> U/+1) ХЫх, =
1
= е(1/2) Tr 0 det (/ 4- v)~1/2 = е<-!/2> Тг [,п ,/+й)- "1. |
9.3 Квадратичные возмущения 199
Предложение 9.3.2. Мера d\i, определяемая формулой (9.3.2) и предложением
9.3.1, имеет ковариацию
Cv е= (С-1 + о)-1. (9.3.8)
Доказательство. Так как 0 есть оператор Гильберта - Шмидта и -1 < й по
условию (9.3.3), то -1 + 6 С б для некоторого е > 0. Следовательно,
оператор (/ + t')^1 ограничен, так же как и оператор С1^(1 + ?)-1С1/2 =
С.,.. При этом С" удовлетворяет тождеству
С" = С -СиС0. (9.3.9)
Последняя формула есть результат применения формулы интегрирования по
частям к двухточечной функции ^ ф(х)ф(г/)cfjx. Ц
Прямое доказательство формулы (9.3.6) в предположении |] v j|Hs < 1.
